2013届高考数学(理)一轮复习课件：第九篇 解析几何方法技巧1 直线与圆的位置关系

方法技巧1直线与圆的位置关系【考情快递】直线与圆的问题以直线与圆的交汇问题为主，其中直线与圆的位置关系是一个主要命题方向．方法1：代数法解题步骤①通过消元得到关于x的一元二次方程；②根据方程的个数对各个选项进行讨论．适用情况能转化为直线与圆的方程组的问题.【例1】►(2012·北京四中月考)已知圆M：(x＋cosθ)2＋(y－sinθ)2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题中的真命题为()．A．对任意实数k与θ，直线l和圆M相切B．对任意实数k与θ，直线l和圆M都没有公共点C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切解析圆的方程是x2＋y2＋2xcosθ－2ysinθ＝0，将y＝kx代入，得(1＋k2)x2＋2(cosθ－ksinθ)x＝0，解得x1＝0，x2＝2ksinθ－cosθ1＋k2，因此对任意实数k，θ，直线与圆至少有一个公共点(0,0)，选项B不正确；只要x2≠0，直线与圆就存在两个公共点，即只要ksinθ－cosθ≠0即可，根据k，θ的任意性，知选项A不正确；又当x2＝0，即ksinθ＝cosθ时，若θ＝k1π(k1∈Z)，此时sinθ＝0，cosθ＝±1，就不存在实数k使得等式cosθ＝ksinθ成立，故选项C不正确，反之，对任意实数k，当k＝0时，只要θ＝kπ＋π2，当k≠0时，只要θ满足tanθ＝1k即可，根据正切函数性质这是容易办到的，故选项D正确．故选D.答案D方法2：几何法解题步骤①求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小；②判断二者的大小，大于半径相离；等于半径相切；小于半径相交．适用情况通过圆的几何性质能求出圆心到直线的距离和圆的半径的大小.【例2】►已知直线l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R)和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0，是否存在实数m，使得直线l将圆C分割成弧长的比值为12的两段圆弧，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解直线l的方程可化为y＝mm2＋1x－4mm2＋1，此时l的斜率k＝mm2＋1，因为|m|≤12(m2＋1)，所以|k|＝|m||m2＋1|≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立，所以斜率k的取值范围是－12，12.又y＝mm2＋1(x－4)，即l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤12，圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2；圆心C到直线l的距离d＝21＋k2，由|k|≤12，得d≥45＞1，即d＞r2，从而l与圆C相交，且直线l截圆C所得的弦所对的圆心角小于2π3，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为12的两段弧．方法运用训练11．(江苏启东中学最新月考)将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为()．A．－3或7B．－2或8C．0或10D．1或11解析设切点为C(x，y)，则切点满足2(x＋1)－y＋λ＝0，即y＝2(x＋1)＋λ，代入圆方程整理得：5x2＋(2＋4λ)x＋(λ2－4)＝0，(*)由直线与圆相切可知，(*)方程只有一个解，因而有Δ＝0，得λ＝－3或7.答案A2．(2012·人大附中最新月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为()．A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切解析圆心到直线l的距离为d＝1＋m2，圆半径为m.因为d－r＝1＋m2－m＝12(m－2m＋1)＝12(m－1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离，故选C.答案C3．已知M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r＞0)内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝r2与此圆的位置关系为________．解析圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝r2的距离为d＝r2x20＋y20.因为P(x0，y0)在圆内，所以x20＋y20＜r.则有d＞r，故直线和圆相离．答案相离4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．解(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d＝4－2322＝1，结合点到直线距离公式，得|3k＋1＋4k|k2＋1＝1，化简得：24k2＋7k＝0，k＝0，或k＝－724，所求直线l的方程为：y＝0或y＝－724(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为：y－n＝k(x－m)，y－n＝－1k(x－m)，即：kx－y＋n－km＝0，－1kx－y＋n＋1km＝0，因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理，得：圆心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等．故有：|－3k－1＋n－km|k2＋1＝－4k－5＋n＋1km1k2＋1，化简得：(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因为关于k的方程有无穷多解，有：2－m－n＝0，m－n－3＝0或m－n＋8＝0，m＋n－5＝0.解之得：点P坐标为52，－12或－32，132.