人教A版选修【2-2】1.3.2《函数的极值与导数》ppt课件

第一章导数及其应用1．3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次．．极值的概念：已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)任一点，如果对x0附近的所有点x，都有________，则称函数f(x)在点x0处取__________，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________．如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取__________，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值与极小值统称为________．极大值点与极小值点统称为________．f(x)＜f(x0)极大值极大值点f(x)＞f(x0)极小值极小值点极值极值点学习目标预习导学典例精析栏目链接．函数的极值就是函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．3．函数y＝f(x)的极值与导数的关系：解方程f′(x0)＝0，当f′(x0)＝0时：学习目标预习导学典例精析栏目链接基础梳理(1)如果在x0附近的左侧_________，右侧_________，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧__________，右侧_________，那么f(x0)是极小值．例：函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞0解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，∴f(x)在x＝2处取得极小值．答案：2学习目标预习导学典例精析栏目链接．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5自测自评解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由f′(－3)＝0得a＝5.故选D.答案：D学习目标预习导学典例精析栏目链接．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点答案：D学习目标预习导学典例精析栏目链接．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：x∈R，y′＝1－11＋x2·(1＋x2)′＝1－2x1＋x2＝x－121＋x2≥0，所以函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选D.答案：D学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x(－∞，1)1(1,2)2(2，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值－16↘极小值－13↗学习目标预习导学典例精析栏目链接求函数f(x)＝13x3－32x2＋2x－1的极值．∴当x＝1时，f(x)有极大值，且极大值为f(1)＝－16；当x＝2时，f(x)有极小值，且极小值为f(2)＝－13.点评：求可导函数f(x)的极值的方法：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根；学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．③如果在f′(x)的根x＝x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是极值．学习目标预习导学典例精析栏目链接．已知函数f(x)＝lnx－2x，求函数f(x)的极值．跟踪训练解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2.令f′(x)＝1x－2＝0，解得x＝12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x0，121212，＋∞f′(x)＋0－f(x)↗极大值ln12e↘∴当x＝12时，函数f(x)有极大值，且极大值为f12＝ln12－1＝ln12e.学习目标预习导学典例精析栏目链接题型2已知函数的极值求参数值例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，所以f′(1)＝f′(－1)＝0，即3a＋2b－3＝0，3a－2b－3＝0，解得a＝1，b＝0.(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，学习目标预习导学典例精析栏目链接(x)在(－1,1)上是减函数，所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．点评：对于求含参数函数的极值问题，若参数对函数的单调性(即导数的正负)有影响则需对参数分类讨论，否则不用讨论参数．学习目标预习导学典例精析栏目链接．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－1B．a－1C．a－1eD．a－1e跟踪训练学习目标预习导学典例精析栏目链接题型3函数极值的应用例3已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↗a－2↘a＋2↗由表可知函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.学习目标预习导学典例精析栏目链接学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)结合图象(图略)，当极大值a＋2＝0，极小值小于0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0，有极大值大于0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．．设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则()A．a－3B．a－3C．a－13D．a－13跟踪训练学习目标预习导学典例精析栏目链接＝－3a两边取e为底的对数，得x0＝1aln－3a，由x0＝1aln－3a0及a0，得ln－3a0，故a的取值范围为a－3.答案：B跟踪训练学习目标预习导学典例精析栏目链接