西南交大-材料力学-龚晖-截面几何性质

附录截面的几何性质§-1截面的静矩和形心位置ddyzAAzAyASS1.静矩（或一次矩）(单位：m3或mm3。）2.形心坐标公式dAzAzAOzdAyyxCxyAAyyAdASyzSA3.组合截面的静矩11nnyziiiiiiAzAySS3）截面对形心轴的静矩为0，4.组合截面的形心坐标公式1）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，2）静矩和形心坐标均可正可负，4）静矩为0的轴为截面的形心轴。yzAzAySS1111nniiiiiinniiiizyAAzyAA例求图示T形截面的形心位置。1001002020y解：建立参考坐标系。zniiniCiiCAyAy11A1A2212211AAyAyACC201002010070201001020100=40mmz'20100201005020100)10(20100'Cy=20mmA1A2A3z100120(60)(10040)(50)2100120100402Cy=-80mmzyodyC32dyC§I－2极惯性矩·惯性矩·惯性积1.极惯性矩AIAd2p2.惯性矩22ddyzAAAAyIzI1)极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关，AIAd2pOzyyzdAzyII22()dAyzA3.惯性积dyzAyzAI2)惯性积可正可负3)单位m4或mm44.惯性半径yzyzIIiiAA（单位m或mm）OzyyzdA解：取平行于x轴的狭长条，则dA=bdy2dzAAyI同理123hbIydyy例试计算图示矩形截面对于其对称轴x和y的惯性矩。yhCzb123bhybyhhd2220yzIy和z中只要有一根轴是截面的对称轴，则Iyz=0思考：O为直角三角形ABD斜边上的中点，y、z轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积Iyz=______。zABDyOabIyz=0312zbhIhzybC例：试计算图示圆截面对于其形心轴的惯性矩。zdyyz解：yzIIpyzIII4pπ264yzIdII§-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式312zbhIyhCzbz’3'12zbhI2czzIIaAAbIIcyy2ccyzyzIIabA平行移轴公式注意：4.a、b代表形心C在yoz座标系中的坐标，可正可负。ycyzczCOb1.两轴必须平行；2.两轴中必须有一轴为形心轴：2czzIIaA2czzIIaA已知对形心轴的惯性矩和惯性积:已知非形心轴的惯性矩和惯性积:3.在一组平行轴系中对形心轴的惯性矩最小；解：例Ⅰ-5求图示T形截面对水平形心轴的惯性矩1001002020yzC20A2A121zzzIII311002012zI20100302=1.867106mm4321002012zI20100302=3.467106mm4Iz=1.867106+3.467106=5.334106mm4yaa补例1求图示截面对其形心轴的惯性矩。解：A1A221yyyIII124a1284a1)求Iy2)求yCz212211AAyAyAyCCC)8()32)(8(22222aaaaaaaa)8(3314zCC12CCCzzzIII4221()122CzCaaIyayaaA1A2zzCC3)求IzCyC'22222()38CCzCzaaIIayzC’32a'02222()38CzzaaIIz08)32(128224aaa4)8(310aICx§-4惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩1.惯性矩和惯性积的转轴公式312zbhIyhCzb3'12zbhIzyO1111cos2sin222cos2sin222sin2cos22zyzyzyzzyzyyyzzyyzyzIIIIIIIIIIIIIIII注意：1.两个座标系的原点必须重合；11yzyzIIII2.两轴惯性矩之和为常量pI2.截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴:截面对其惯性积为0的一对坐标轴。1100sin2cos202zyyzyzIIII02tan2yzzyIII(2)主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。(3)形心主惯性轴：主惯性轴的原点与形心重合。(4)形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。0221422zyyzzzyIIIIII0221422zyyzyzyIIIIII极大值Imax极小值IminzyC101012080CCⅠⅡ例：试计算截面的形心主惯性矩。解：1)求形心坐标2)求对自身形心轴的惯性矩3)由平行移轴公式求对整个截面形心轴的惯性矩4)用转轴公式确定主轴位置02tan21.093ccccyzzyIII8.1136.227200zc0yc0°=113.802442max1432110mm22ccccccczyyzzzyIIIIIII02442min1457.410mm22ccccccczyyzyzyIIIIIIIzyC101012080CCⅠⅡ3.形心主轴的确定3)较小的形心主矩是最小值，但较大的形心主矩不是最大值；1)过同一点的轴系中，主矩是唯一的；2)过不同点的轴系中，主轴和主矩是不同的；zAoz00yy08)无对称轴（例）；6)截面有两根互相垂直的对称轴，则这两根轴即为形心主轴；7)截面只有一根对称轴时，该对称轴是一根形心主轴，另一根形心主轴与该轴垂直；5)正多边形任意一根形心轴均为形心主轴；4)截面有三根或以上的对称轴时，则过形心的任一根轴均为形心主轴，且惯性矩相等；解：1）解法一16)32(256224ddd3625644ddCCyzyzIIIICCzyzyIIII2CzyIIyIdd1812844补例2直径为d的四分之一圆形，C是其形心，已知yzC256)2(4dIy，试求Iz。ozCyCz002216CCzyzdIIIa2）解法二yzCoz1y1z0110zyzyIIII011zzyyIIII12zyIIyId25624yId128402216zzdIIOC16)322(128224ddIdyyIdd18128443）解法三yzCoy1z1C’1zzIIA1A2A3z00000123zzzzIIII1284d042128zydII042128zydII1022216zzzdIIIOCyIdd1812844000001234zzzzzIIIII4）解法四yzCoy1z1C’z0A1A2A3A31zzII644d0432264yzdII043128zydII1022316zzzdIIIOCyIdd1812844