概率论与数理统计期末试题与详细解答

云财中华学院《概率论与数理统计》期末试卷一、填空题（每题4分，共20分）1、假设事件A和B满足1)(ABP，则A和B的关系是__BA_____________。2、设随机变量)(~X，且,21XPXP则kXP____)...,1,0(!22kkek_________。3、设X服从参数为1的指数分布，则)(2XE____2_______。4、设),1,0(~),2,0(~NYNX且X与Y相互独立，则~YXZ___)3,0(N________。5、),16,1(~),5,1(~NYNX且X与Y相互独立，令12YXZ，则YZ__32__。二、选择题（每题4分，共20分）1、将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（B）A、323B、83C、161D、812、随机变量X和Y的,0XY则下列结论不正确的是（B）A、)()()(YDXDYXDB、aX与bY必相互独立C、X与Y可能服从二维均匀分布D、)()()(YEXEXYE3、样本nXXX,,,21来自总体X，,)(,)(2XDXE则有（B）A、2iX)1(ni都是的无偏估计B、X是的无偏估计C、)1(2niXi是2的无偏估计D、2X是2的无偏估计4、设nXXX,,,21来自正态总体),(2N的样本，其中已知，2未知，则下列不是统计量的是（C）A、iniX1minB、XC、niiX1D、1XXn5、在假设检验中，检验水平的意义是（A）A、原假设0H成立，经检验被拒绝的概率B、原假设0H不成立，经检验被拒绝的概率C、原假设0H成立，经检验不能拒绝的概率D、原假设0H不成立，经检验不能拒绝的概率三、计算题（共28分）1、已知离散型随机变量的分布律为X123kp0.20.30.5求：X的分布函数，（2）)(XD。（5分）31321320.521212.0110)(xXPXPXpxXPXPxXPxxF6.3)()()(22XEXEXD2、已知连续型随机变量X的分布函数为),(,arctan)(xxBAxF，求（1）常数A和B，（2）)11(Xp，（3）概率密度)(xf。（8分）解（1）因为.1)(lim,0)(limxXFxFx所以.12)arctan(lim,02)arctan(limBAxBABAxBAxx解得121BA（2）21)4121()4121()1()1()11(FFXp（3）xxxFxf,)1(1)()(23、设随机变量321,,XXX相互独立，其中21],6,0[~XUX服从21的指数分布，)3(~3X，计算)32(321XXXD。（5分）解：因为随机变量321,,XXX相互独立，所以随机变量3213,2,XXX也相互独立。)32(321XXXD)(9)(4)(321XDXDXD又由于]6,0[~1UX，所以12)06()(21XD由于2X服从21的指数分布，所以4)(2XD由于)3(~3X，所以3)(3XD)32(321XXXD=12)06(2+4639444、设nXXX21,是总体X的样本，求X的数学期望和方差2的矩估计量。（5分）解：2222)]([)()(,)(XEXDXEXEniiniiXnXn1222111解得：221211)(1ˆ,1ˆSnnXXnXXnniinii5、设随机变量X服从)1,0(N分布，求随机变量XeY的概率密度函数。（5分）解2221)(xXexfyeLnyXPyePyYPyFyyfyYPyFyLnyLnyXYYY1.21)(,00)(,0)(,02)(21所以00021)(2)(21yyeyfLnyY四、应用题（共32分）1、1、已知在10只晶体管中有2只次品，在其中任取两次，每次任取一只，不放回抽样。求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）一只正品，一只次品。（8分）解：设iA为事件“第i次取出的是正品”（i1，2），（1）452897108)()()(12121AAPAPAAP（2）)()()()()()()(12112121212121AAPAPAAPAPAAPAAPAAAAP=451698102921082、已知随机变量),(YX的分布律为YX123121/31/61/91/18问：（1）当,为何值时，X和Y相互独立。（2）求12YXP。（8分）（1）X12ip3131Y123iP2191181)181(31181),91(3191,,3..2232..222pppppp，解得91,92。经验证.3,2,1,2,1,..jipppjiij成立所以当91,92时，X和Y相互独立。（2）由于X和Y相互独立，可得12YXP=312XP3、某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为(%)3.253.273.243.263.24设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在01.0下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为3.25。（6041.4)4(005.0t）（8分）按题意需检验0100:25.3:HH取01.0，检验的拒绝域为)1(20ntnSXt6041.4)4(,01304.0,252.3,5005.0tSXn，算得tnSXt,6041.4343.00未落在拒绝域中，接受0H。认为这批矿砂的镍含量为3.25。4、若有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用他们去试开门上的锁。设取到每只钥匙是等可能的，若把每把钥匙试开一次后放回。求试开次数X的数学期望。（8分）引进随机变量，，次打开前，次没打开前32i1-i01-i,1iX11XiX01ip1211)1()1(1iinnpnnpnnnnnnnpXEXEXEXEnniniini)1()1()1(11)(1)(122222i1）（）（