重积分的应用

重积分的应用目录引言................................................................................................................................................31二重积分的概念及应用...................................................................................................41.1二重积分的概念........................................................41.2二重积分在积分不等式证明中的应用......................................41.3利用二重积分求旋转体的体积............................................62三重积分的概念及应用...................................................................................................62.1三重积分的概念........................................................62.2利用三重积分求空间物体的质量..........................................72.3利用三重积分求物体的重心..............................................72.4利用三重积分求物体的转动惯量..........................................83多重积分的概念及其应用.............................................................................................103.1多重积分的概念.......................................................103.2多重积分的应用.......................................................10结论............................................................12致谢............................................................13参考文献........................................................14沈阳大学毕业设计（论文）No1摘要为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题.通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的应用能力．结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用．由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的．关键词:重积分；转动惯量；不等式沈阳大学毕业设计（论文）No2AbstractInordertoresearchtheapplicationsofmultipleintegral，andtheapplicationsinlearningandlife，usetheconceptandapplicationtosolvetheproblem．Throughexploringthevariousmethodsofmultipleintegralinvariousareasofapplication,improvetheefficiencyoftheproblemsolving,improvethebasicwaystosolveproblemswiththethoughtofmultipleintegral,andprocessingmultipleintegralapplicationinallfieldsability.Theresultsshowthattheapplicationofmultipleintegralisverywide,notonlyintherelatedfieldsofmathematicshasanimportantapplication,butintheactualproblemalsoplaysarole．Becauseoftheimportantroleofthemultipleintegral,andmultipleintegralanditsapplicationinabetterresearchanddiscussionisverynecessary．Keywords:multipleintegral;momentofinertia;inequality沈阳大学毕业设计（论文）No3引言重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野．重积分是研究曲面面积、旋转体积、不等式证明、计算物体的质量和解决一些生活实际问题等方面的有力工具．它有相当广泛的应用范围和非常重要的应用价值．数学中有很多问题用其它数学思想来解决可能会非常复杂和繁琐,而用重积分思想解决此类问题就会迎刃而解达到化繁为简的目的．例如二重积分在积分不等式证明中的应用,借助一些定理,通过变换间接解决相关不等式的证明问题,运用二重积分证明不等式,不但可以丰富不等式证明的方法、开阔视野、创新思路,而且在特定情况下可以起到事半功倍的效果．同时,三重积分可以用于解决物体的质量、重心和转动惯量之类的问题．借助重积分工具去研究空间物体问题,不仅能获得简便的解题方法且能促进科学思维的培养,提高发散思维的水平．因此,我们应该对重积分有比较深刻的了解,而且在遇到具体问题时要能够熟练运用．由此我们可以看出重积分在各个领域都发挥着重要的作用,因此,对重积分的研究不可忽视.我们应该加大对重积分的研究深度,使之在各个领域起到更大的作用．本文就重积分的应用,谈一点个人的感悟和体会．沈阳大学毕业设计（论文）No41二重积分的概念及应用本章主要介绍将一元函数积分的概念和应用推广到二元函数，即二重积分的概念及应用．1.1二重积分的概念设二元函数),(yxf在有界闭区域R有定义，用任意分法T将R分成n个小区域：nRRR,,,21，设它们的面积分别是n,,,21.在小区域上任取一点),,2,1)(,(nkPkkk，作和knkkkf1),()11(称为二元函数),(yxf在区域R的积分和．令)(,),(),(max21nRdRdRdT定义1.1设二元函数),(yxf在有界闭区域R有定义，若当0T时，二元函数),(yxf在区域R的积分和)11(存在极限I（数I与分法T无关，也与点kP的取法无关），记为IfknkkkoT1),(lim即nkRPTTkkkk,,2,1,),(,:,0,0，有Ifknkkk1),(则称函数),(yxf在R可积，I是二元函数),(yxf在R的二重积分，记为dyxfIR),(或dxdyyxfIR),(其中R称为积分区域，),(yxf称为被积函数，d或dxdy称为面积微元．1.2二重积分在积分不等式证明中的应用沈阳大学毕业设计（论文）No5在一些积分不等式证明中，由于被积函数不确定，不能直接求出积分式，本章介绍借助一些定理，通过变换间接证明积分不等式．在积分不等式的证明中，需要用到以下定理及推论：定理1.1若函数),(yxf在闭区域dycbxayxR;:),(上可积，且bax,，定积分dyyxfxIdc),()(存在，则累次积分dxdyyxfbadc),(也存在，且dxdyyxfdxdyyxfbadcR),(),(．特别地当),(yxf在矩形区域dycbxayxR;:),(上连续时，有dydxyxfdxdyyxfdxdyyxfdcbabadcR),(),(),(推论若函数)(x在ba,上可积，函数)(y在dc,上可积，则乘积函数)()(yx在闭矩形域dycbxayxR;:),(上也可积，且badcRdyydxxdxdyyx)()()()(例1.1若)(xf连续且0)(xf，则222)(sin)()(bababadxxfkxdzxfcoxkxdxxf证明：222)()()()()()(cos)()(sin)(sin)(cos)(cos)(sin)(cos)(ababaRRRRbabadxxfyfdxxfdxdyyfxfdxdyyxkyfxfkydxdyyfkxxfkydxdyyfkxxfkxdxxfkxdxxf沈阳大学毕业设计（论文）No6（其中：dycbxayxR;:),(:．）1.3利用二重积分求旋转体的体积本节介绍了通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法，进而得出一般积分公式．在计算中需用到的定理：定理1.2由连续曲线)0)()(,(xfyxfy，直线bxax,，及x轴所围成的曲边梯形D绕不穿过曲边梯形内部的共面直线0:CByAxl旋转一周所围成的旋转体的体积为：dyCByAxdxBAdCByAxBAVxfbaD)(0222222例1.2求由2xy，xy所围成的平面绕直线xy旋转一周所围成旋转体的体积．解：10,),(2xxyxyxD，D在xy右下方，即Dyx),(，都有yx，所以Dyxyx),(,0．由上述公式有602)22(2)(2)1(121043210222dxxxxdyyxdxdyxVxxD沈阳大学毕业设计（论文）No72三重积分的概念及应用本章介绍的三重积分不仅是二重积分的推广，也是解决某些实际问题所必需的．2.1三重积分的概念设三元函数),,(zyxf在有界闭体V有定义，用分法T将V分成n个小体：nVVV,,,21，设它们的体积分别是nVVV,,,21．在小体kV上任取一点),,2,1)(,,(nkPkkkk若0T时，和式knkkkkVf1),,(的极限存在，且与区域的分法和点),,(kkkkP的选取无关，则称),,(zyxf在V上可积，并称此极限为),,(zyxf在V上的三重积分，记为dVzyxfV),,(或dxdydzzyxfV),,(),,(zyxf称为被积函数，V称为积分区域，dV或dxdydz称为体积微元．2.2利用三重积分求空间物体的质量设物体占有空间区域V，体密度为),,(zyx，则物体的质量dxdydzzyxMV),,(．例2.1设空间区域V由122yxz与平面2z围成，已知V上任意一点的密度与该点到原点距离平方成正比，求V的质量m．解：由已知密度)0)((),,(222kzyxkzyx，则dxdydzzyxkmV)(222