2013正方形的性质与判定经典例题练习

1正方形1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，MND=_______=_______∠B.2.在正方形ABCD中，AB=12cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+623、下面的命题是真命题的有。A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C、正方形是一组邻边相等的矩形。D、正方形是有一个角为直角的菱形。精讲精练例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD的度数。变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.2例2、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（三、用中学习1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD=。2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为。ABCPDE33.正方形的面积是31，则其对角线长是________.4.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．6、（2012义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．47、（大连）（1）如图，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CGBC），B、C、G在同一直线上，M为线段AE的中点。探究：线段MD、MF的关系。（2）若将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45，使得正方形CGEF对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。自学生疑1、判定四边形为矩形的方法：（1）（2）（3）2、判定四边形为菱形的方法：（1）（2）（3）5二、合作学习合作探究根据正方形的定义如何判定一个四边形为正方形？练一练：1．不能判定四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形B．对角线互相垂直的矩形C．对角线相等的菱形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形2、（绵阳）四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（）A．AB=BC=CD=DAB．AO=CO，BO=DO，AC⊥BDC．AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分D．AB=BC，CD=DA3、如图，已知四边形ABCD是菱形，则只须补充条件：（用字母表示）就可以判定四边形ABCD是正方形．精讲精练例1、已知RtABC中，90C，CD平分ACB,交AB于D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形DECF为正方形。例2、E是正方形ABCD对角线AC上一点，,,EFCDEGAD垂足分别为F、G，求证：BE=FG。6例3：（淄博）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．例4、如图，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方形？并证明你的结论.三、用中学习1、判断:（1）四条边都相等的四边形是正方形。（）ABCDMNE7（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（）（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（）（4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（）2.四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDB.AB∥CD，AC=BDC.AD∥BC，∠A=∠CD.OA=OC，OB=OD，AB=BC3、（上海市）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE△是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形．拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）1、如图，正方形ABCD中，E、F、G分别是AD、AB、BC上的点，且AE=FB=GC。试判断EFG的形状，并说明理由。2、如图，在正方形ABCD中，P为BC上一点，Q为CD上一点，(1)若PQ=BP+DQ，求PAQ。（2）若45PAQ,求证：PQ=BP+DQ.ECDBAO83、如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF.(2)判断BEF的形状。4、如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F。（1）探究：线段OE与OF的数量关系，并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）当点O运动到何处，且ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？