初中数学竞赛精品标准教程及练习60：解三角形

1初中数学竞赛精品标准教程及练习（60）解三角形一、内容提要1.由三角形的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2.解直角三角形所根据的定理(在Rt△ABC中，∠C=Rt∠).①边与边的关系：勾股定理－－－－――c2=a2+b2.②角与角的关系：两个锐角互余－－－－∠A+∠B=Rt∠③边与角的关系：（锐角三角函数定义）SinA=ca，CosA=cb,tanA=ba,CotA=ab.④互余的两个角的三角函数的关系：Sin(90－A)=CosA，Cos(90－A)=SinA，tan(90－A)=CotA,Cot(90－A)=tanA.⑤特殊角的三角函数值：角A的度数030456090SinA的值02122231CosA的值12322210tanA的值03313不存在CotA的值不存在31330锐角的正弦、正切随着角度的增大而增大（即增函数）；余弦、余切随着角度的增大而减小（即减函数）.3.解斜三角形所根据的定理(在△ABC中)①正弦定理：SinCcSinBbSinAa=2R.(R是△ABC外接圆半径).②余弦定理：c2=a2+b2－2abCosC；b2=c2+a2－2caCosB；a2=c2+b2－2cbCosA.③互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)=sinA，Cos(180－A)=－cosA，tan(180－A)=－cotA，cotA(180－A)=－tanA.④S△ABC＝21absinC=21bcsinA=21casinB.cbaABC24.与解三角形相关的概念：水平距离，垂直距离，仰角，俯角，坡角，坡度，象限角，方位角等.二、例题例1.已知：四边形ABCD中，∠A＝60，CB⊥AB，CD⊥AD，CB＝2，CD＝1.求：AC的长.解：延长AD和BC相交于E，则∠E＝30.在Rt△ECD中，∵sinE=CECD,∴CE=30sin1=1÷21＝2.EB＝4.在Rt△EAB中，∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。=334.根据勾股定理AC＝223342）＋（＝2132.又解：连结BD，设AB为x，AD为y.根据勾股定理AC2＝x2+22=y2+12.根据余弦定理BD2＝x2+y2－2xyCos60=22＋12－2×2×1Cos120.得方程组.07032222xyyxyx，解这个方程组，得x=334.(以下同上一解)例2.已知：如图，要测量山AB的高，在和B同一直线上的C，D处,分别测得对A的仰角的度数为n和m，CD=a.试写出表示AB的算式.解：设AB为x，BD为y.在Rt△ABD和Rt△ABC中，.cotcotnxaymxy，xCotm=xCotn－a.∴x=CotmCotna.答：山高AB＝CotmCotna.yx6012ABCDEyxanmABCD3例3.已知：四边形ABCD中，∠ABC＝135，∠BCD＝120，CD＝6，AB＝6，BC＝5－3.求：AD的长.解：作AE∥BC交CD于E，BF⊥AE于F，CG⊥AE于G..在Rt△ABF中，BF＝6Sin45=3,AF＝BF＝3.在Rt△CGE中，GE＝CGtan30=3×33＝1,∴CE＝2，ED＝4.∴AE=3+5－3+1=6，∠AED＝120.在△AED中，根据余弦定理，得AD2＝62＋42－2×6×4Cos120=76.∴AD＝219.例4.如图，要测量河对岸C，D两个目标之间的距离，在A，B两个测站，测得平面角∠CAB＝30，∠CAD＝45，∠DBC＝75，∠DBA＝45，AB＝3.试求C，D的距离.解：在△ABC中，∵∠ACB＝∠CAB＝30，∴BC＝AB＝3,∴AC＝23cos30=3.在△ABD中，∠ADB＝60由正弦定理，45sinAD＝60sinAB，AD＝60sinAB×sin45=3÷23×22＝2.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝32＋（2）2－2×3×2Cos45=5∴CD＝5.3　河流75453045ABCD5－366120135ABCDEFG4例5.已知：O是凸五边形ABCDE内的一点且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠8.求证：∠9和∠10相等或互补证明：根据正弦定理，得5sin4sin3sin2sin1sin10sinOAODOCOCOBOB=9sin8sin7sin6sinOAOEOEOD.∴sin10=sin9∴∠9和∠10相等或互补.例6.已知：二次方程mx2－(m－2)x+41(m－1)=0两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值.求：这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比.解：作Rt△ABC斜边上的高CD.则sinA=ACCD,sinB=BCCD.∵sinA和sinB是方程的两根，根据韦达定理，得sinA+sinB=mm2；(1)sinAsinB=mm41.(2)即ACCDBCCD=mm41.（3）(1)2－2(2)得：(sinA)2+(sinB)2=(mm2)2－mm21.∵sinB=cosA,且(sinA)2+(cosA)2=1，∴(mm2)2－mm21=1，m2+7m－8=0,∴m=1，m=－8.由（3）ACCDBCCD＝ABCDABCDCD2＝＝mm41.∴CDAB＝14mm.当m=1时，没有意义；当m=-8时，CDAB=932.即直角三角形斜边与斜边上的高的比是32∶9.10987654312ABCDEOABCD5三、练习601.填空：①如果从点A对着点B测得仰角是60，那么从点B对着点A测得的俯角是＿＿度.②点C在点D的南偏东25，那么点D在C的方向是＿＿＿＿＿＿.③斜坡AB的坡角是30，那么AB的坡度i=1∶＿＿＿.④锐角A＞45，那么下列函数的取值范围是：SinA_____，CosA_____，tanA_______，cotA________.⑤已知：30＜∠A＜60，那么如下的函数的取值范围是∠A的余弦＿＿＿＿＿＿＿＿，∠A的正切＿＿＿＿＿＿＿.2.已知：△ABC中，∠B＝45，AC＝7，点D在BC上，CD＝3，D＝5.求AB的长.3.如图观测塔AB的高为aA测得地面上同一方向上的两个目标C，D的俯角分别是30和45，求CD的距离.4.船A在船B的正北，它们同时向东航行，时速分别是15和20海里，3小时后，船B在船A的东南，问这时两船相距多远？5.一只船向南航行，出发前在灯塔A的北偏东30，相距15海里，2小时后，灯塔在船的北偏西60，求船的航行速度.6.如图要测量建筑物AB的高，先在楼下C测得对顶端A的仰角为45，然后在楼上D测得对A的仰角为30，已知楼高CD=m米，求AB.7.已知：△ABC中，a=21,b=17,c=10.求：S△ABC.8.已知：△ABC中，SinA∶SinB∶SinC=3∶5∶7.求：△ABC的最大角的度数.9.船B在艇A的方位角120，相距24海里处，发出呼救，报告说：它沿着方位角240的方向前进，速度是每小时9海里.A艇以最快的时速21海里赶去营救，问应沿什么方向，要经过几小时才能靠近船B？10.已知：锐角三角形ABC的外接圆直径AE交BC于D.求证：tanB×tanC=AD∶DE提示：作BC边的高AF(h)并延长交圆于G,连结GEja3045ABCDmABCDEDABCEFG611.已知：△ABC中，∠A=45，AB=6，BC=2，不用正弦定理能解答这个三角形吗？如不能，说明理由；如能请解这个三角形.12.如图已知：ABCD为圆内接四边形，过AB上一点M引MP，MQ，MR分别垂直于BC，CD，AD，连结PR和MQ交于N.求证：MABMNRPN.13.如图已知：锐角△ABC中，AC=1，AB=c，△ABC的外接圆半径R≤1.求证：Cosc≤CosA+3SinA.练习60参考答案：1①60②北偏西25③3④大于221；小于221；大于1；小于1⑤21CosA23,33tanA3.2.由余弦定理得∠ADC=120度，再由正弦定理得AB=265.3.CD=(3-1)a4.1525.536.2)33(m7.用公式S△=))()(-S(ScSbSa，其中S=2cba或先求最大边的高为8，S△=21×21×8=84.8.由正弦定理得a∶b∶c=3∶5∶7，CosC=-21,∠C=120度9.应沿方位角141度48分的方向，1小时可到达10.左边=FGhhFCBFhFChBFh22…12NBCPDQARMA13c1JBC711.可由余弦定理求AC=3+1，∠C=120或60度……或AC=3-1，∠B=15或75度……12.由正弦定理PN=①MAMRMNPSMPin，NR=②MBMPMNPSMRin，①÷②即可13.由正弦定理12R2BS1in，21≤SinB1，30≤B900CoOSB≤23，由余弦定理1-a2-c2+3ac≥0①，a2+c2-10②……