1.1正余弦定理综合应用-习题课

1.1正余弦定理综合应用习题课1．在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则角B等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由正弦定理知sinAa＝sinBb，∵sinAa＝cosBb，∴sinB＝cosB，∵0°B180°，∴B＝45°.答案：B2．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()A．不等边三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形解析：由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac＝12，则(a－c)2＝0，∴a＝c，又∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：B3．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A．13B．－23C．14D．－14解析：∵sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，由正弦定理得a∶b∶c＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k0)，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝9k2＋4k2－9k212k2＝13.答案：A4．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg2，∠B为锐角，则∠A的值是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由题意得ab＝sinB＝22，又∵∠B为锐角，∴B＝45°，又ab＝sinAsinB＝22，sinA＝sinB×22＝12，∴∠A＝30°.答案：A5．在△ABC中，b＝1，a＝2，则角B的取值范围是________．解析：由正弦定理得1sinB＝2sinA，所以sinB＝12sinA∈0，12.又因为ba，所以BA，所以B∈(0°，30°]．答案：(0°，30°]6．在△ABC中，若∠C＝60°，则ab＋c＋ba＋c＝________.解析：ab＋c＋ba＋c＝a2＋ac＋b2＋bcb＋ca＋c＝a2＋b2＋ac＋bcab＋ac＋bc＋c2①∵∠C＝60°∴a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab.∴a2＋b2＝ab＋c2②②代入①得ab＋c2＋ac＋bcab＋ac＋bc＋c2＝1.答案：17．在△ABC中，cosA＝45，且(a－2)∶b∶(c＋2)＝1∶2∶3，试判断三角形的形状．解：由已知设a－2＝x，则b＝2x，c＋2＝3x，所以a＝2＋x，c＝3x－2，由余弦定理得4x2＋3x－22－x＋224x3x－2＝45，解得x＝4，所以a＝6，b＝8，c＝10，所以a2＋b2＝c2，即三角形为直角三角形．8．(2013·陕西高考)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由正弦定理，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA0，∴sinA＝1，A＝π2，所以△ABC是直角三角形．答案：B9．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则AC边上的高为()A．322B．332C．32D．33解析：由余弦定理，可得cosA＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sinA＝32.则AC边上的高h＝ABsinA＝3×32＝332，故选B．答案：B10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析：由sinB＋cosB＝2sinB＋π4＝2得sinB＋π4＝1，所以B＝π4.由正弦定理asinA＝bsinB得sinA＝asinBb＝2·sinπ42＝12，所以A＝π6或5π6(舍去)．答案：π611．(2014·大纲全国高考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC＝2ccosA，tanA＝13，求B．解：由题设和正弦定理得3sinAcosC＝2sinCcosA．故3tanAcosC＝2sinC，因为tanA＝13，所以cosC＝2sinC，tanC＝12.所以tanB＝tan[180°－(A＋C)]＝－tan(A＋C)＝tanA＋tanCtanAtanC－1＝－1.即B＝135°.12．(2014·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B．(1)求a的值；(2)求sinA＋π4的值．解：(1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB．由正、余弦定理得a＝2b·a2＋c2－b22ac.因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝23.(2)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝－13.由于0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝1－19＝223.故sinA＋π4＝sinAcosπ4＋cosAsinπ4＝223×22＋－13×22＝4－26.13．(2014·北京高考)如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.