九章算术

九章算术与希腊数学的发展同步，中国数学也有了长足的进步、一系列的数学思想和著作开始流传，到了西汉时代的《九章算术》，标志着中国数学已逐渐形成体系、流传至今的最早的数学思想，当推墨经中的几何学与逻辑学的表达、《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，蕴涵了无限的数学思想、到公元前两百年，已有数学著作流传、1984年在湖北江陵张家山出土的《算数书》竹简，总字数约7000余，有60余小标题，如“方田”，“税田”，“金价”，“合分”，“约分”，“少广”，“程禾”，“贾盐”等等，涉及面积计算、开方、分数运算等、由于全部竹简尚未公开，其内涵有待进一步研究，与《算数书》几乎同时的还有《周髀算经》，涉及天文学上的分数运算、比例、等差级数等问题，而以勾股定理的论述最为重要、此后还有《淮南子》，《三统历》、《许商算术》、《杜忠算术》等著作，涉及数学问题、而集大成的，就是《九章算术》，就其内容和标题来分折，它是《算数书》的继续与发展、现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后、《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术、这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示、《九章算术》的作者不详、很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶、由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明、现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释、80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版、现将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和几何三部分概要介绍如下：【一】《九章算术》中的算术部分1、分数《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四那么运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等、其步骤与方法大体与现代的雷同、分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减、加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子、“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”、就是分子小于分母时便以分数形式保留、其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可、关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”、《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法那么，但算法也很清楚、如第一章方田章的第18个题“有三人三分人之一〔即313〕，分六钱三分钱之一〔即316〕，四分钱之三〔即43〕，问人得几何”、“答曰：人得二钱八分钱之一”〔即每人得812钱〕、“经分〔分数除法称经分〕术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一”、即313)43316(、在计算过程中首先需要把带分数化为假分数，然后分数相除，即相当于现在所说的“颠倒相乘”、2、最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法、求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也、以等数约之、”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数、可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2、不都是偶数了，那么另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数、如方田章第六题：“又有九十一分之四十九，问约之得几何”、将更相减损这一运算写成现代的图式就是于是7就是所求得的等数，再以它约9149得简约分数137、更相减损法实质上是辗转相减法、辗转相减法与欧几里得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是一致的、《九章算术》在分数的加减运算中，用最小公倍数作公分母，例如少广章第六题相当于分数的运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7的最小公倍数、3、比例算法在《九章算术》的第【二】【三】六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题、粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……、例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”、它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”、用现代的方式来表达，即为公式：或所求数∶所有数＝所求率∶所有率、这个题是欲将粟米换成粝米，其中“粟米一斗(十升)”是“所有数”，粝米数即为“所求数”，按规定“粟率五十”为“所有率”，粝米30为“所求率”、于是得所求数为10×30÷50＝6(升)，这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米、因而可以根据物与物的比率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应用问题大都依据“今有”的数据，问所求的数，因此我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词、在《九章算术》中，今有术应用特别广泛，是一种普遍的解题方法、与比率有关的其他一些算法一般都是在今有术的基础上演化而来的、《九章算术》中另一个常用的比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分、比例分配的意思，它是古代处理配分问题的一般方法，“衰分术曰，各置列衰(即所配的比率)，副并(得所配比率的和)为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得的和)为所有率，所分为所有数”，用“今有术”计算，就可以得到各所求数、例如衰分章第二题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马(所食)，马主曰，我马食半牛(所食)，今欲衰偿之，问各几何”，依照羊主人、马主人的话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4∶2∶1，就用4、2、1各为所求率，4＋2＋1＝7为所有率，粟50升为所有数、以“今有术”演算分别得牛主人应偿7450＝7428〔升〕，马主人应偿7214升，羊主人应偿717升、《九章算术》中有相当复杂的比例问题，例如均输章中，既有按正比“列衰”也有按反比“列衰”的比例分配问题等等、因此《九章算术》已包括了现代算术中的全部比例的内容，形成了一个完整的体系、4、盈亏问题《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)、”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下、令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实、实为物价，法为人数”、如以算筹演算大致如图1－24所示、用现代的符号来表示：设每人出a1钱，盈b1钱；每人出a2钱，不足b2钱，求物价u和人数v、依据术文得以下二公式：当然我们还可以算出每人应该分摊的钱数因此上述的盈不足术实际上包含着三个公式、盈不足章的第9到第20题，是一般的算术应用题，有些问题还相当难，初学者不易解达、如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足的数量，这样任何算术问题都可以改造成为一个盈亏问题来解、因此盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位、盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国、【二】《九章算术》中的代数部分《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平、1、开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样、所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步、问为方几何”、“答曰：二百三十五步”、这里所说的步是我国古代的长度单位、“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长、)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)、步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)、议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)、以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225－40000＝15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)、复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位、因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3、置3于商的十位、以次商3乘借算得3×100＝300，与定法相加为4000＋300＝4300、再乘以次商，那么得：3×4300＝12900，由“实”减去得：15225－12900＝2325、如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1＋4300＝4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5＋460＝465，再乘以三商5，得465×5＝2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235、)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作、它的开平方原理与现代开平方原理相同、其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换、《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的、2、二次方程问题《九章算术》勾股章第二十题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何、”“答曰：二百五十步”、：如图1－26所示，CD＝20步，EB＝14步，BF＝1775步，求CE、按题意，得或EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF、设x＝EC、经整理，得x2＋34x＝71000、这是一个解数字二次方程的问题、这种二次方程有一个正系数的一次项在二次项后面，我国古代称这个一次项为“从法”、《九章算术》少广章开平方术虽然专为开整平方而建立，但是也可以利用来解一般的二次方程问题、解这种二次方程只需开带“从法”的平方，或简称为“开带从平方”、从而即可求得方程的正根、因此上述勾股章第20题的解法为：“术曰以出北门步数乘西行步数倍之，(2CD·BF＝2×20×1775＝71000)为实，并出南门步数为从法(20＋14＝34)，开方除之，即邑方、”现列出开带从平方的筹算步骤如图1－27所示、(注：为了不易搞错，空位补上0)如果我们将上述开带从平方的演算过程与55225的开平方的演