第十二章---大跨度桥梁的稳定理论

第十二章大跨度桥梁的稳定理论12.1概述12.2第一类弹性及弹塑性稳定分析12.3拱桥稳定分析和非保向力效应12.4材料非线性问题12.5桥梁结构的极限承载力及其全过程分析12.6小结12.1.1稳定理论的发展历程稳定问题是力学中一个重要分支，是桥梁工程中经常遇到的问题，与强度问题有着同等重要的意义。随着桥梁跨径的不断增大，桥塔高耸化、箱梁薄壁化以及高强材料的应用，结构整体和局部的刚度下降，使得稳定问题显得比以往更为重要。12.1概述桥梁结构的失稳现象表现为结构的整体失稳或局部失稳。局部失稳是指部分子结构的失稳或个别构件的失稳，局部失稳常常导致整个结构体系的失稳。历史上有过许多因桥梁失稳而造成事故的例子。例如，俄罗斯的克夫达(Keвдa)敞开式桥，于1875年因上弦压杆失稳而引起全桥破坏；加拿大的魁北克(Quebec)桥于1907年在架设过程中由于悬臂端下弦杆的腹版翘曲而引起严重破坏事故；苏联的莫兹尔(Mозыр)桥，于1925年试车时由于压杆失稳而发生事故；澳大利亚墨尔本附近的西门(WestGate)桥，于1970年在架设拼拢整孔左右两半(截面)钢箱梁时，上翼板在跨中央失稳，导致112m的整跨倒塌。桥梁失稳事故的发生促进了桥梁稳定理论的发展。早在1744年，欧拉(L.Eular)就提出了压杆稳定的著名公式。此后彭加瑞(A.Poincare,1885)明确了稳定概念，并推广到流体力学的层流稳定问题中，即稳定分支点的概念。恩格塞(Engesser)和卡门(Karman)等根据大量中长压杆在压曲前已超出弹性极限的事实，分别提出了切线模量理论和折算模量理论。普兰特尔和米歇尔几乎同时发表了关于梁侧倾问题的研究成果。近代桥梁工程中由于采用了薄壁轻型结构，又为稳定问题提出了一系列新的实际课题。瓦格纳(H.Wagner,1929)及符拉索夫(В.З.ВЛаCOB,1940)等人关于薄壁杆件的弯扭失稳理论，证明其临界荷载值大大低于欧拉理论的临界值，同时又不能用分支点的概念来解释。因而引入了极值点失稳的观点以及跳跃现象的稳定理论。随着科学技术的发展，稳定理论与非线性理论的联系越来越密不可分。研究表明，只有通过对结构几何非线性关系以及材料非线性本构关系的研究，才能深入揭示复杂稳定问题的实质。12.1.2两类稳定问题物体的平衡可能是稳定的、不稳定的或者是随遇的。物体从一种平衡状态稍微偏至邻近状态之后，如果仍能回复到原来的状态，则原来的平衡状态为稳定的；如果不能回复到原来的状态而将继续离去，则原来的平衡状态为不稳定的；如果可以在任意新的位置上保持平衡，则为随遇平衡。以刚性小球在不同曲面上的平衡状态为例，小球在凹面的最低位置为稳定平衡，在凸面的最高位置为不稳定平衡，在水平面上为随遇平衡。在一般情况下，平衡的性质可随物体的偏移方向而异。如小球在双曲抛物面中点，其平衡状态在一个方向是稳定的，而在其它方向则是不稳定的。在桥梁结构中，总是要求其保持稳定平衡，也即沿各个方向都是稳定的。随遇平衡可认为是稳定与不稳定的过渡状态，也属于不稳定的范畴。结构失稳是指结构在外力增加到某一量值时，稳定性平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形迅速增大，使结构失去正常工作能力的现象。研究稳定可以从小范围内观察，即在邻近原始状态的微小区域内进行研究。为揭示失稳的真谛，也可从大范围内进行研究。前者以小位移理论为基础，而后者建立在大位移非线性理论的基础上。引出了研究结构稳定问题的两种形式：第一类稳定：分支点失稳问题如图12.1(a)所示中心受压的理想直杆。当载荷P低于特定的临界值Pcr时，如果施加微小干扰使之弯曲，卸去干扰后杆件仍回到原始直线状态。这时，称压杆的直线平衡形式是稳定的。以中点挠度f为横坐标，载荷P为纵坐标，如图12.1(b)所示，则OA上任一点表示一种直线平衡状态。称OA为原始平衡路径(Primaryequilibriumpath)。当P超过Pcr时，压杆可能处于直线平衡状态，也可能处于弯曲平衡状态。但直线平衡状态是不稳定的，稍有干扰，压杆就失去平衡而发生弯曲至B点。曲线AB称为第二平衡路径，A点称为分支点。这种具有分支点的平衡问题称为第一类平衡问题。分支点A处第二路径的切线是水平的，因此在一阶无穷小邻域内，挠度为不定值。结构分支点失稳是理想力学模型和小位移理论的产物。图12.1中心受压的理想直杆第二类稳定：极值点失稳问题一般结构体系并不存在分支点，这样就不能以平衡形式发生分支现象来定义失稳特征。但是，在结构失稳过程中，其荷载、变形曲线常具有极值点，如图12.1(b)所示。在OA段内，结构始终处在弯曲平衡状态，更大可能是出现部分塑性变形。当荷载达到极大值Pcr时，即使外力不再增加，结构位移也可能急速增大，结构呈不稳定现象，这就是第二类稳定：极值点失稳问题。实际工程中的稳定问题一般都表现为第二类失稳。但是，由于第一类稳定问题是特征值问题，求解方便，在许多情况下两类问题的临界值又相差不大，因此研究第一类稳定问题仍有着重要的工程意义。12.1.3稳定问题求解方法的评述研究压杆屈曲稳定问题常用的方法有静力平衡法(Eular方法)、能量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振动法。静力平衡法是从平衡状态来研究压杆屈曲特征的，即研究载荷达到多大时，弹性系统可以发生不同的平衡状态，其实质是求解弹性系统的平衡路径(曲线)的分支点所对应的载荷值(临界载荷)。能量法则是求弹性系统的总势能不再是正定时的载荷值。缺陷法认为：完善而无缺陷的理想中心受压直杆是不存在的。由于缺陷的影响，杆件开始受力时即产生弯曲变形，其值要视缺陷程度而定。在一般条件下缺陷总是很小的，弯曲变形并不显著，只是当荷载接近完善系统的临界值时，变形才迅速增至很大，由此确定其失稳条件。振动法以动力学的观点来研究压杆稳定问题。当压杆在给定的压力下，受到一定的初始扰动之后，必将产生自由振动，如果振动随时间的增加是收敛的，则压杆是稳定的。以上四种方法对于欧拉压杆而言，所得到的临界荷载值是相同的。如果仔细研究一下，可以发现它们的结论并不完全一样，表现在以下几个方面：(1)静力平衡法的结论只能指出，当P=P1、P2－...、Pn时压杆可能发生屈曲现象，至于哪种最可能，并无抉择的条件。同时在PP1、P2－...、Pn时，屈曲的变形形式根本不能平衡，因此无法回答直线形式的平衡是不稳定的问题。(2)缺陷法的结论也只能指出当P=P1、P2－...、Pn，杆件将发生无限变形，所以是不稳定的。但对于P在P1、P2－...、Pn各值之间时压杆是否稳定的问题也不能解释。(3)能量法和振动法都指出，PP1之后不论P值多大，压杆直线形式的平衡都是不稳定的。这个结论和事实完全一致。由于桥梁结构的复杂性，不可能单靠上述方法来解决其稳定问题。大量使用的是稳定问题的近似求解方法，归结起来主要有两种类型：一类是从微分方程出发，通过数学上的各种近似方法求解，如逐次渐近法。另一类是基于能量变分原理的近似法，如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式。当今非线性力学将有限元与计算机结合，得以将稳定问题当作非线性力学的特殊问题，用计算机程序实现求解，取得了具大的成功。12.2第一类弹性及弹塑性稳定分析12.2.1第一类稳定问题的线弹性有限元分析下面用有限元平衡方程来表达结构失稳的物理现象。T.L列式下，结构增量形式的平衡方程为：()00000KKKuKuRLT(12－1)U.L列式下，结构的平衡方程为：()tttTKKuKuR0(12－2)在发生第一类失稳前，结构处于初始构形线性平衡状态，因此，式(12－1)中大位移矩阵0[K]L应该为零。在U.L列式中不再考虑每个载荷增量步引起的构形变化，所以，不论T.L还是U.L列式，其表达形式是统一的。即：()KKuR(12－3)在结构处在临界状态下，即使{ΔR}→0，{Δu}也有非零解，按线性代数理论，必有：KK0(12－4)在小变形情况下，[K]σ与应力水平成正比。由于发生第一类失稳前满足线性假设，多数情况下应力与外荷载也为线性关系，因此，若某种参考荷载P对应的结构几何刚度阵为K，临界荷载为，那么在临界荷载作用下结构的几何刚度阵为：KK(12－5)于是式(12－4)可写成:KK0(12－6)式(12－6)就是第一类线弹性稳定问题的控制方程。稳定问题转化为求方程的最小特征值问题。一般来说，结构的稳定是相对于某种特定荷载而言的，在大跨径桥梁结构中，结构内力一般由施工过程确定的恒载内力(这部分必须按施工过程逐阶段计算)和后期荷载(如二期恒载、活载、风载等)引起的内力两部分组成。因此，也可以分成一期恒载的初内力刚度阵[]K1K和后期荷载的初内力刚度阵][2K两部分，当计算的是一期恒载稳定问题，则[]K20K，可直接用恒载来计算，这样通过式(12－6)算出的就是恒载的稳定安全系数。若计算的是后期荷载的稳定问题，则恒载[]K1可近似为一常量，式(12－6)改写成：[][][]KKK120(12－7)形成和求解式(12－7)的步骤可简单归结为：K1[]K2●按施工过程，计算结构恒载内力和恒载几何刚度阵●用后期荷载对结构进行静力分析，求出结构初应力(内力);●形成结构几何刚度矩阵●计算式(12－7)的最小特征值问题；和式(12－7)；这样，求得的最小特征值λ就是后期荷载的安全系数，相应的特征向量就是失稳模态。12.2.2第一类稳定的非线性有限元分析工程中经常会遇到如下两种情况：1.随着荷载的增加，在结构发生弹性失稳之前，部分构件已经进入了塑性变形。2.结构比较柔软，当荷载不断增加时，参考荷载的][_K与临界荷载的][K失去了线性关系。在解决这类稳定问题时，为了利用第一类稳定求解的方便性，同时又要考虑上述两方面因素影响对线性稳定求解的失真度，可以将特征值问题与非线性分析结合起来求解。这就是第一类稳定的非线性有限元分析方法。基本思路是：用考虑几何非线性和材料非线性的有限元方法，将荷载逐级施加到0{}P，{P}为参考荷载，0为期望的最小稳定安全系数，求出结构的几何刚度阵作为[]K1，在变形后的构形，由参考aa荷载按线性化稳定问题求出后期荷载的屈曲安全系数，检验结构在后期屈曲荷载作用下是否出现新的弹塑性单元，如果，最后较精确的临界荷载为：a出现则作迭代修正重新计算a{}(){}{}PPPcra0(12－8)式中：λ为结构在荷载{P}作用下较精确的稳定安全系数。对于结构失稳前位移不大的刚性结构，往往忽略其大位移影响，于是问题就转化为第一类稳定的弹塑性问题，可以直接用图12.2所示的框图计算。图12.2第一类弹塑性稳定计算流程图12.3拱桥稳定分析和非保向力效应本节以解析法来阐述拱桥的第一类稳定计算。与数值法相比，虽然解析法引入了一些近似假定，应用也受到一定的限制，但通过解析法，可以直接将结构的临界荷载用结构设计参数来表达，这对于直观研究设计参数与结构稳定性的关系，优化结构稳定性，估算结构稳定安全系数，验证数值分析结果的正确性等都具有十分重要的意义。研究拱桥屈曲问题可用静力平衡法(Eular方法)、能量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振动法。为方便讨论，常将拱桥的稳定问题分解成面内稳定和侧向稳定两类问题来分别研究。12.3.1圆弧拱平面屈曲微分方程受径向荷载的圆弧拱，在矢跨比不大的情况下，可以近似地代表工程中受铅垂荷载的非圆形拱。圆弧拱的屈曲易于获得解析解，我们可以利用它来分析端支承情况和矢跨比对拱桥临界荷载值的影响。如图12.3所示的圆弧拱，在均布径向荷载q作用下，开始只有沿拱轴方向的弹性压缩变形。若忽略轴向变形的影响，拱轴线与压力线完全吻合，拱处于无弯矩状态。当荷载达到临界值时，拱发生微小的弯曲变形v，在这一变形状态下来建立它的屈曲微分方程。12.3均匀径向荷载作用下的圆