拓扑优化-第三次课

2010-10-9计算结构力学12010-10-9计算结构力学2上次课回顾绪论1.设计和优化2.结构优化设计3.结构拓扑优化和创新设计¾结构拓扑优化发展历史¾结构拓扑优化与创新设计¾航空结构拓扑优化¾微柔性机构设计¾特异性能材料设计¾结构和材料的一体化优化设计4.结构拓扑优化若干前沿2010-10-9计算结构力学3第一章拓扑优化问题基础--基于各向同性材料分布的拓扑优化1.结构拓扑优化设计参数2.结构拓扑优化问题列式3.结构拓扑优化迭代算法4.拓扑优化的数值问题2010-10-9计算结构力学4基本结构拓扑优化设定¾两类变量通过状态方程进行耦合¾给定了一组设计变量，将确定一组对应的状态变量两类变量：设计变量状态变量ρU2010-10-9计算结构力学5结构拓扑优化列式()()()()**minmax..::,1,...,::min:iistVVggiM≤≤=≤≤=Φρ,Uρρ,UρρρKρUFρ,U目标函数约束函数状态方程（FE）目标结构2010-10-9计算结构力学6结构拓扑优化的一般列式标准格式：平衡作为隐式函数调用()()..::min:adstD=∈Φρ,UKρUFρρ,U¾是依赖于设计变量的有限元刚度矩阵()Kρρ2010-10-9计算结构力学7状态方程其他格式：()=KρUF2010-10-9计算结构力学8结构最小柔顺性拓扑优化的列式--最大化结构平均刚度平衡方程以弱形式，变分形式给出。ad()s.t.:(,)(),forallEMinuEluauvlvvU∈=∈∈U,EE00(,)()()()ijklijklauvExuvdεεΩ=Ω∫00()TlufudtudΩΓ=Ω+Γ∫∫v2010-10-9计算结构力学9结构最小柔顺性拓扑优化的列式()eeads.t.:E,EMineu=∈T,EfuKufE最大化结构平均刚度的有限元列式()e1ENee==∑KK2010-10-9计算结构力学10设计的参数化--整数离散优化¾结构几何的表示用图像处理中的黑白像素来表示01,0\matmatmateeijklijklmatifxEEifxρρΩΩ⎧∈Ω==⎨∈ΩΩ⎩2010-10-9计算结构力学11设计的参数化--整数离散优化¾离散形式的优化列式将调用多次昂贵的结构分析¾事实上人们难以遍历所有的可能解2010-10-9计算结构力学12连续型优化列式¾将看成构成结构的密度，将原“黑白”离散设计转化为具有灰度的连续变量优化。ρ2010-10-9计算结构力学13连续型优化列式—罚函数法()()()0,1;01,pijklijklExEpxdVxxρρρΩ=Ω≤≤≤∈Ω∫()()000,1ijklijklijklEEEρρ====SIMP：SolidIsotropicMaterialwithPenalizationUneconomical,p=3一个流行有效的比例刚度惩罚模型2010-10-9计算结构力学14连续型优化列式—SIMP方法的物理确认p=32010-10-9计算结构力学15最小柔顺性优化的其他等效列式¾充分利用最小柔顺性问题的特点，对原始优化问题的列式进行变形，有助于优化分析和迭代过程的推导。()1(,)()2EFvavvlv=−1(,)()2MaxMinEuEavvlv∈∈⎧⎫−⎨⎬⎩⎭UEad最小势能原理1()02lu−2010-10-9计算结构力学16最小柔顺性优化的其他等效列式¾也可以写成应力表达的形式{}|0,TSdivfinntonσσσ=+=Ω⋅=Γ12MinMinijklijklESCdσσσ∈∈Ω⎧⎫Ω⎨⎬⎩⎭∫Ead最小余能原理()1ijklijklCE−=2010-10-9计算结构力学17结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则利用Lagrange乘子法()()()()0min()s.t.:(,)(),forall;,01.MinpijkliuEjklExxExluaudlvvUVvxρρρρ∈Ω=Ω≤≤=∈≤∫U,ρ{}()()()()()()()min1,()(,)()ExdVxxdLluauxxulduρλρλρρΩ+−ΩΩ⎛⎞=−−+Λ+⎜⎟⎝⎠Ω−−Ω+−Ω∫∫∫2010-10-9计算结构力学18结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则()()ijklijkluuEεελλρ+−=Λ+∂−∂是平衡约束的Lagrange乘子，L对位移域u的变分可得uuu=L对设计变量的变分可得ρ非负条件0,0,λλ+−≥≥()()()()min10,0xxλρλρρ+−−=−=互补条件2010-10-9计算结构力学19结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则()10()()ipijkljklupxuEερε−=Λ对于中间密度单元，最优条件写为¾此最优条件事实上表示：左端“应变能密度”对于所有具有中间密度，恒定等于¾这类似于传统基于经验的满应力准则设计()min1xρρ≤≤Λ2010-10-9计算结构力学20结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则()110()()pKijkiKklKljuBpxEuρεε−−Λ=不动点迭代准则¾称为调制参数；经验取值¾称为移动极限；经验取值ης0.5η=0.2ς=2010-10-9计算结构力学21结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则111KKKBBB=ΛΛ局部最优值；应变能大于，局部结构偏柔，需要增加材料应变能小于，局部结构偏刚，需要去除材料不动点迭代准则()110()()pKijkiKklKljuBpxEuρεε−−Λ=¾对于中间密度，与应变能密度成比例，pΛ2010-10-9计算结构力学22结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则不动点迭代准则¾需要通过一个内部循环进行更新以满足体积约束。¾随着密度变量的连续变化，体积约束单调增长；¾可通过二分法或Newton方法确定值。ΛΛ2010-10-9计算结构力学23柔顺性优化问题的数值解法¾设计变量个数多¾约束个数少¾利用基于最优准则法的迭代类求解算法对于单工况问题是非常高效的。¾在迭代类算法中，每一材料点的更新基于最优解的必要条件，独立于其他材料点。2010-10-9计算结构力学24结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则¾应变能密度恒定的迭代准则只适用于中间密度；¾应变能密度将变低，当时；¾应变能密度将变高，当时。¾对于非结构类拓展，不动点迭代格式不再适用。特别是当结构的几何在迭代过程中发生变化，其他物理场，如电、磁或问题的自伴随性能不再满足时。¾对于上述问题，数学规划法更加适用，但计算会更加昂贵。minρρ=1ρ=2010-10-9计算结构力学25¾前处理：几何和载荷‹定义基结构、边界条件‹定义可设计域及非可设计域‹定义基结构的有限单元网格，固定网格‹在有限元网格上定义设计变量结构拓扑优化的基本步骤2010-10-9计算结构力学26¾优化过程：‹赋初值，均匀分布‹计算位移及应变‹计算柔顺性，基于最优必要条件，判断停止迭代‹按照不动点格式更新设计变量，由二分法寻找体积约束是紧约束的拉氏乘子‹重复迭代；结构拓扑优化的基本步骤2010-10-9计算结构力学27¾后处理：„将最优材料分布的优化结果解释还原为CAD能识别的形状结构拓扑优化的基本步骤2010-10-9计算结构力学28结构拓扑优化的基本步骤2010-10-9计算结构力学29结构拓扑优化的基本步骤¾材料的插值格式的选择应在初始阶段确定，SIMP插值格式是最常用的材料插值格式。一般惩罚系数取为3或4。¾上述过程适用任何种类的有限单元类型，以及任何设计域。这对定义边界条件和非可设计域提供了方便。2010-10-9计算结构力学30结构最小柔顺性拓扑优化的迭代准则¾解的收敛性¾解的存在性¾放松的方法¾约束的方法¾有限元分析的效率¾优化算法的效率¾棋盘格式¾网格依赖----尺寸控制可能存在的问题2010-10-9计算结构力学31THEEND