ch17-1-可微性与偏导数

1第十七章多元函数微分学四、Taylor公式与极值一、可微性与偏导数二、复合函数微分法三、方向导数与梯度2§1可微性与偏导数四、可微性的几何意义及应用一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件3一、可微性与全微分定义1设函数0(,)()zfxyUP在某邻域内有定000(,)(,)(),PxyxxyyUP义.对于若f在0P:z可表示为的全增量0000(,)(,)(),zfxxyyfxyAxByo(1)0P22,xy其中A,B是仅与点有关的常数,()o是0P的高阶无穷小量,则称f在点可微.并称(1)式中关于,xyAxBy的线性表达式0fP在为的全微分,记作4||,||xydz由(1),(2)可见,当充分小时,全微分(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy这里,zAxByxy(4)000d|d(,).PzfxyAxBy(2)z可作为全增量的近似值,于是有近似公式:在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：0000(,)(,)()().fxyfxyAxxByy(3)记作5例1考察00(,)(,).fxyxyxy在任一点的可微性解f在点00(,)xy处的全增量为000000(,)()()fxyxxyyxy00.yxxyxy由于||||||0(0),xyxy00().(,),xyofxy因此从而在可微且00d.fyxxy6二、偏导数由一元函数微分学知道:若0(),fxx在可微则00()()(),fxxfxAxox其中0().Afx(,)fxy00(,)xy现在来讨论:当二元函数在点可微时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此在(4)式中先令0(0),yxf这时得到关x于的偏增量为.xxzzAxxAx或70,xA现让由上式便得的一个极限表示式000000(,)(,)limlim.xxxzfxxyfxyAxx(5)容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数00(,).fxyxx在处的导数类似地,(4)0(0),xy在式中令又可得到000000(,)(,)limlim,yyyzfxyyfxyByy(6)它是关于y的一元函数00(,).fxyyy在处的导数二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:80.x的某邻域内有定义则当极限存在时,称此极限为00(,)fxy在点关于x的偏导数,记作000000(,)(,)(,),,.xxyxyfzfxyxx或0(,),(,),(,)zfxyxyDfxy设函数且在定义2000000(,)(,)limlimxxxzfxxyfxyxx(7)9类似地可定义00(,)fxy在点关于y的偏导数:000000(,)(,)limlim,yyyzfxyyfxyyy(7)记作000000(,)(,)(,),,.yxyxyfzfxyyy或注1,xy这里是专用于偏导数的符号,与一元ddx函数的导数符号相仿,但又有区别.10注2在上述定义中,00(,)fxy在点存在对x(或y),f的偏导数此时至少在00(,),||xyyyxx00(,),||.xyxxyy或上必须有定义显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在界点处则往往无法考虑偏导数．(,)zfxy(,)xy若函数在区域D上每一点都存在对x(或对y)的偏导数,则得到(,)zfxy在D上对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),记作11(,)(,)(,)(,),xyfxyfxyfxyfxyxy或或,,,,.xxyyfffzfzxy也可简单地写作或或偏导数的几何意义:(,)zfxy的几何图象通常是三维空间中的曲面,设0000(,,)Pxyz为此曲面上一000(,).zfxy00,Pyy过点作平面它与点,其中曲面相交得一曲线：0:,(,).Cyyzfxy12如图17-1所示，偏导数00(,)xfxy的几何意义为:在平面0yy上,曲线C在点P0处的切线与x轴00(,)tan.xfxy正向所成倾角的正切，即xyzO0P图17-10y(,)zfxyC13可同样讨论偏导数00(,)yfxy的几何意义(请读者自行叙述)．由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,是先把别的自变量看作常数,变成一元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则,对多元函数求偏导数仍然适用.例2323(,)2(1,3)fxyxxyy求函数在点处关于x和关于y的偏导数.解先求f在点(1,3)处关于x的偏导数.为此,令14y=3,得到32(,3)627,fxxx求它在x=1的导数,则得211d(,3)(1,3)(312)15.dxxxfxfxxx再求f在(1,3)处关于y的偏导数.为此令x=1,得3(1,)12,fyyy求它在y=3处的导数,又得233d(1,)(1,3)2325.dyyyfyfyy通常也可先分别求出关于x和y的偏导函数:15222(,)34,(,)23.xyfxyxxyfxyxy然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数(0)yzxx的偏导数.解把yzx依次看成幂函数和指数函数,分别求得1,ln.yyzzyxxxxy例4求三元函数2sin(e)zuxy的偏导数.解把y和z看作常数,得到162cos(e);zuxyx22cos(e);zuyxyy2ecos(e).zzuxyz把z,x看作常数,得到把x,y看作常数,得到17三、可微性条件000(,),fPxyf在点可微则在由可微定义易知:若0P必连续.这表明:“连续是可微的一个必要条件．”此外,由(5),(6)两式又可得到可微的另一必要条件:定理17.1若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,(1)式中的0000(,),(,).xyAfxyBfxy180000(,),(,).xyAfxyBfxy于是,函数00(,)fxy在点的全微分(2)可惟一地表示为000000d(,)(,)(,).xyfxyfxyxfxyy与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即d,d,xxyy则全微分又可写为000000d(,)(,)d(,)d.xyfxyfxyxfxyy19若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，且f在D上的全微分为d(,)(,)d(,)d.xyfxyfxyxfxyy(8)定理17.1的应用:对于函数22(,),fxyxy由于(,0)||,(0,)||,fxxfyy0x它们分别在0y与(0,0)xf与都不可导，即(0,0),yf都不存在(,)(0,0).fxy在点不可微故2000(,0)(0,0)00(0,0)limlim0;xxxfxffxx再看一个例子:在原点的可微性．222222,0,(,)0,0xyxyxyfxyxy例5考察函数解按偏导数的定义先求出21同理可得(0,0,)0.yf若f在原点可微,则22(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]xyfxyffxfyxyxy22xy应是的高阶无穷小量.然而,极限220limxyxy却不存在(第十六章§2例3),故此f(x,y)在原点不可微.22以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明:对于多元函数,偏导数即使都存在,该函数也不一定可微．现在不禁要问:当所有偏导数都存在时,还需要添加哪些条件,才能保证函数可微呢?请看如下定理:定理17.2(可微的充分条件)若函数(,)zfxy在000(,)Pxy,xyff与点的某邻域内存在偏导数且它0Pf0P在点们在点连续,则可微.23000000000000(,)(,)[(,)(,)][(,)(,)].zfxxyyfxyfxxyyfxyyfxyyfxy在第一个方括号里的是函数0(,)fxyy关于x的增量;在第二个括号里的是函数0(,)fxy关于y的增量.第二步对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,则12,(0,1),使得证第一步把全增量写作z24010002(,)(,).xyzfxxyyxfxyyy(9)00,(,),xyffxy在点连续第三步由于因此有(,)(0,0),0,0.xy其中当时0000(,)(,).xyzfxyxfxyyxy第四步将(10),(11)代入(9)式,得到由可微定义的等价式(4),便知00(,).fxy在点可微00200(,)(,),yyfxyyfxy(11)01000(,)(,),xxfxxyyfxy(10)25定理17.２的应用容易验证例2中的函数323(,)2fxyxxyy满足定理17.2的条件,故在点(1,3)可微(且在2R上处处可微);3{(,)|0,}yzxxyxy例中的函数在上满足定理17.2的条件,亦在其定义域上可微；例4中的函数23sin(e)Rzuxy在上同样可微.注意偏导数连续并不是可微的必要条件，例如26222222221()sin,0,(,)0,0.xyxyxyfxyxy它在原点(0,0)处可微,但xyff与却在该点不连续(见本节习题7，请自行验证).所以定理17.2是可微的充分性定理．(,)fxy00(,)xy在点xyff与若的偏导数都连续,则00(,)fxy称在点连续可微．在定理17.2证明过程中出现的(9)式,实际上是二27(,),xy导数,若属于该邻域则存在元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下:00000(,)(,)(,)()(,)().xyfxyfxyfyxxfxyy(12)00(,)fxy在点的某邻域内存在偏定理17.3设函数120,1,和010()xxx020(),yyy使得28四、可微性的几何意义及应用一元函数()yfx可微，在几何上反映为曲线存在不平行于y轴的切线.对于二元函数而言,可微性则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.为此需要先给出切平面的定义,这可以从切线定义中获得启发.在第五章§1中,我们曾把平面曲线S在其上某一00(,)Pxy点的切线PT定义为过点P的割线PQ当Q沿S趋近P时的极限位置(如果存在的话).这时,29PQ与PT的夹角也将随Q→P而趋于零(参见图17-2).用h和d分别表示点Q到直线PT的距离和点Q到点P的距离,由于PTSdh图17-2Qsin,hdQSP因此当沿趋于时,0.hd0等同于30定义3设曲面S上一一个平面,S上的动点仿照这个想法,我们引进曲面S在点P的切平面的定义(参见图17-3).PQhdxyzOS图17-3点P,Π为通过点P的Q到定点P和到平面Π的距离分别记为d和h.若当Q在S上以任意方式趋近于P时,恒有310,hd则称Π为曲面S在点P的切平面,称P为切点.定理17.4曲面0000(,)(,,(,))zfxyPxyfxy在点存在不平行于z轴的切平面的充要条件是:函数f在点000(,)Pxy可微.证(充分性)若函数f在P0可微,由定义知道0000000(,)()(,)()(),xyzzfxyxxfxyyyo32讨论过点