数学建模SARS

北京航空航天大学大学生数学建模选拔赛2011年6月10日－6月12日参赛题目AB（在所选题目上打勾）参赛队队长参赛队员1参赛队员2姓名学号学院专业年级电话Email北京航空航天大学教务处数学建模指导组摘要论文解决问题的方法：论文中涉及到得方法有1：公式推导的方法（如：问题二中的新建SARS模型）:2：线性与非线性拟合，其中非线性拟合包括傅里叶拟合（运用于问题三中求解2003月份理论值）、指数拟合（运用于问题二中高峰前的模型建立）、自定义拟合（运用于问题二中高峰期后的模型建立）、折线图拟合（运用于旅游业影响度的分析）；3：对比法（运用于问题二中后期模型的建立和问题三中）；4：利用软件matlab进行模拟和求解（1、2、3均用到）；主体结构：问题1：对已有模型评价问题2：新模型的建立，对模型进行分析和预测，如何建立更好的模型，对政府部门采取的措施的评价问题3：模型的建立，对经济的损失的估计，2003年各月旅游影响度预算；问题4：给报刊的一封信；结论：问题1：虽然模型能说明一些问题，但是模型缺少更合理和更连续的分析，k，L应为随时间变化的函数，实用性不高。问题2：部门应该在高峰前一半时间内采取措施，这样有助于对潜伏期人数的降低。新建立的模型通过自然增长和后期等比下降能较为科学的说明一些问题。但模型还能进一步进行改进（比如寻求更好的L（t）、K（t）模拟）。政府采取的措施力度还应该加大，表现为隔离时间应该提前（具体见后面分析）；问题3：由于“非典”的影响，北京2003年旅游外汇收入减少了16亿美元；通过（偏差比）的走势，我们分析出了2003年“非典”期间对海外游客的总体影响趋势，计算可知，到2003年底，实际游客人数可恢复到理论值的90%以上。关键词：SARS传播，隔离强度，matlab拟合，预测对比问题重述题目是关于2003年SARS传播蔓延趋势的问题。SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。根据所给资料，需要解决以下问题。（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。1.已有模型评价1)从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差.尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际的.该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型本身的含义.因为模型中的实际代表的是时刻全社会的累计SARS患者，而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！2)L参数表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率的值。文中广东、香港、北京现有的数据用的参数都为L=20，该参数虽然具有统计意义，但是随着疫情的发展，政府对疫情防治的力度应该会加大，这就导致L的减小，所以L应该也是一个随时间变化的量。3)一般认为，K的数值随着SARS发展的2个阶段不断变化.在SARS初期，由于潜伏期的存在和社会对SARS病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使得到一定的控制，但效果不明显，此处假设呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，就维持在一个较低值附近.从开始至到高峰期间均采用同样的K值。北京市非典期间实行隔离的时间4月23日，北京非典开始的时间为：3月1日，非典高峰期为4月29日。疫情开始时，市民和政府警惕性比较低，K值应该比较大，随着疫情严重程度的增加。政府力度开始加大，此时K、L均有下降（至于怎么下降后面给出分析）；高峰期以后K、L进一步减小，最后到达一个定值。所以K值如果写为时间的函数效果会更好。2.新建模型分析2.1模型假设：1)由于非典开始时政府、人民警觉性较低，疾病自然增长。2)SARS的持续期不太长，可以忽略在SARS持续期内的城市人口的自然出生率和自然死亡率。3)病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用。4)不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究SARS疫情的发展过程。5)已患SARS者被确诊的概率是一致的，未患SARS者被确诊的概率也是一致的。6)疑似病人中真正患病的患者所占比例相同。2.2变量定义t疫情进行的时间，单位为/天；f(t)确诊的人数，单位为/个；w(t)潜伏期的人数（真正染上SARS的人数），单位为/个；v(t)疑似病例的人数，单位为/个；比例系数，表示初期人口增长的快慢；等比数列的系数；2.3模型分析根据假设1，初期时，由于病毒自然增长，所以我们可以利用自然增长模型进行求解。当t=1时即第一例病人发病（3月1日），f(t)=1；1t=59时（59为高峰期的时间，即4月29日），有关系式：积分（离散求和）得关系式：进入高峰期后，由于政府采取各种政策，自然增长模型不再适用，我们采取如下模型：根据假设5、6，我们将新增确诊人数分为如下两部分：一部分来自前一天的疑似病人v(t)，另一部分来自潜伏期的病人w(t)，由假设中所占比例相同，所以将比例系数分别设为k1、k2。写成表达式为：而v(t)和w(t)之间的关系还可以用如下表达式来表示：积分（采用离散求和）得（即疑似病人量与潜伏期的病人量成正比）.所以，可以进一步简化为：。根据后期每天新增的病人数为单调递减变化，我们将这一过程进行等比模拟，以求得到能与实际符合较好的公式。所以，我们又得到一个关系式:综上我们得到：（其中=w(0)意义为高峰开始时潜伏者的基数）。2.4模型的建立与求解通过上一步的分析，我们明确了递推关系式：但是其中，的值需要我们进一步分析与计算才能得到。值的计算：通过对高峰前的数据进行拟合(程序见附件1),我们得到：值的计算：通过对高峰时（即4月29日、30日）的数据分析:图2.1题目数据截图我们得出=w(1)=f(1)+v(1)f(0)v(0)=用matlab自定义函数拟合工具cftool（详细见附件2）。得：所以我们得到了新的f(t)表达式：图2.2高峰前得拟合图形（f-t）图2.3高峰后图2.4图2.529日之后真实数据与拟合函数对比2.5对比与分析政府采取措施的影响在SARS传播的实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔离开始的时间和隔离的强度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现分析如下：改变隔离开始的时间通过对L调整实现，减小L的数值就提前了隔离时间；而改变隔离的强度通过对调整实现，减小的数值就提高了隔离的强度.以北京的隔离强度为100%，分别在100%和80%强度下用改进SIR模型预测不同控制措施下累计病例总数（人）和疫情持续总时间（天）.结果如表1：隔离强度提前5天（人/天）延后5天（人/天）提前20天（人/天）隔离强度100%1449/934140/112334/69隔离强度80%2157/1725887/205475/128表2.1不同隔离强度下结果分析表1，得出结论：1)在相同隔离强度下，发现隔离开始的时间越早，累计病例总数就越小.2)在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间就越短.3)累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短主要由隔离强度的大小决定.所以，有关部门采取的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.3.分析“非典”对北京市旅游外汇收入影响3.1基本假设1)“非典”所造成的海外游客减少量，每个国家减少的游客与同期比例相同。2)由于“非典”情况严重，忽略其他造成游客减少的原因。3)对任意月份而言，该月海外游客数量占全年总游客数量的比重基本不变（在正常情况下）。3.2符号说明T年份（以1997年为第1年，依次累计）；N(T)T年海外游客总人数；t月份；n(T,t)第T年、t月的游客人数；f(T,t)第T年、t月的游客人数占该年总人数的百分比；2003年t月旅游业影响系数（等于2003年实际与计算值之差占计算值的比例）3.3模型分析求解每个月份游客占该年游客总数的比例为：f(T,t)＝n(T,t)／N(T)对6年中相同月份对应的数据进行拟合，根据拟合所得到的函数，计算第7年（即2003年）该月对应的游客比例。因为相同月份的f(T,t)在一个小范围内波动，故采用傅里叶函数进行拟合。以1月为例过程如下：图3.1一月份比例拟合过程代入拟合得到的参数值，令x=7，可知f(7,1)=0.0387同样方法处理其他11个月的数据，所得结果如下：表格3.1拟合参数值月份w10.04072-0.002190.0015180.0001639-0.00083411.30520.06942-0.01314-0.017710.00280.0033410.74330.070660.0012940.0001036-0.0010780.0018280.628340.088560.002508-0.0023840.001945-9.75e-0062.6950.090820.005325-0.00076050.001163-0.0034861.25760.090210.005342-0.00087010.003959-0.0011831.21670.08532-0.0027790.0027840.0035220.0011382.8598-1.0651.1141.1640.02471-0.44710.230590.1017-0.00605-0.005455-0.008660.0037981.426100.1052-0.010820.0049810.0039670.0017351.146110.09241-0.003708-0.01104-0.009208-0.0078331.312-0.39970.4461-0.49350.025530.2001-0.2519经过分析，2月数据拟合效果较差，因此直接对2000年到2002年进行线性拟合（见附件3）。分别将x=7代入得到2003年的各月百分比：表格3.22003各月游客数目占总数百分比1234567891011120.03870.09180.071170.09130.0960.09330.0870.08080.08750.099470.07580.0744预测“非典”不发生情况的游客人数，对1997—2002年的游客总数增长趋势进行拟合，可知N(7)=345.33.（见附件3）2003年各月海外游客数目：2003年t月旅游业影响系数：表格3.31997—2003年游客数目分析统计表1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月总计1997199819992000200120022003（实际值）2003（预计）9.4