(沪教版高一)数学-不等式-复习-教材-教案

1（沪教版高一）数学：第2章不等式Ⅱ新课讲授1.一元二次不等式(x+a)(x+b)0的解法:首先我们来观察这个不等式(x+4)(x-1)0的特点，以不等式两边来观察.[来源:21世纪教育网]特点：左边是两个x一次因式的积，右边是0.思考：依据该特点，不等式能否实现转化而又能转化成什么形式的不等式？不等式(x+4)(x-1)0可以实现转化，可转化成一次不等式组：与注意：不等式(x+4)(x-1)0的解集是上面不等式组解集的并集.一元二次不等式(x+4)(x-1)0的解法：解：将(x+4)(x-1)0转化为[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]与由x|={x|-4x-1}=得原不等式的解集是{x|-4x1}∪={x|-4x1}21世纪教育网步骤：从上可看出一般形式(x+a)(x+b)0解的步骤：将所解不等式转化为一次不等式组,求其解集的并集，即为所求不等式的解.通过因式分解，转化为一元一次不等式组的方法,[例]求解下列不等式.1、x2-3x-40解：将x2-3x-40分解为(x-4)(x+1)0转化为与[来源:21世纪教育网]21世纪教育网由x|x={x|-4x1}由x|x=原不等式的解集为{x|x4}∪{x|x-1}={x|x-1或x4}2、x(x-2)821世纪教育网解：将x(x-2)8变形为x2-2x-80化成积的形式为(x-4)(x+2)0[来源:21世纪教育网][来源:21世纪教育网]x|={x|x4}[21世纪教育网x|={x|x-2}21世纪教育网x+40x-10x-10x-10x+40x-10x-10x-10x+40x-10x-10x-10x+40x-10x-10x-10x+40x-10x-10x-10x+40x-10x-10x-10x+40x-10x+40x-10x+40x-10x+40x-10x-40x+20x-40x+202x+ax+bx+ax+bx-3x+7x-3x+7x+ax+bx-3x+7ab2x23232x原不等式的解集为{x|x4}∪{x|x-2}={x|x-2或x4}说明：问题解决的关键在于通过正确因式分解,将不等号左端化成两个一次因式积的形式.2.分式不等式0的解法[来源:21世纪教育网]比较〈0与(x-3)(x+7)0与的解集思考：〈0与(x-3)(x+7)0的解集，是否相同.它们都可化为一次不等式组与[来源:21世纪教育网][例5]解不等式0解析：这个不等式若要正确无误地求出解集，则必须实现转化，而这个转化依据就是0ab0及0ab0解：这个不等式解集是不等式组21世纪教育网与的解集的并集.21世纪教育网由x={x|-7x3}x|=得原不等式的解集是{x|-7x3}∪={x|-7x3}由些得出不等式0的解法同(x+a)(x+b)0的解法相同.[例]求不等式3+0的解集.解：3+0可变形为0.转化为（3x+2）x021世纪教育网21世纪教育网x|∪x|={x|-x0}∪={x|-x0}21世纪教育网Ⅲ课堂练习：21世纪教育网Ⅳ课时小结：1、(x+a)(x+b)0型不等式转化方法是与2、0型不等式转化结果:(x+a)(x+b)0[来源:21世纪教育网]21世纪教育网3、上述两类不等式解法相同之处及关键、注意点.x+a0x+b0x+a0x+b0x-30x+70x-30x+70abx-30x+70x-30x+70x-30x+70x-30x+703x+2x3x+20x03x+20x032.4基本不等式的应用教学目标：通过集体讨论发现容易出现的问题，师生共同探究弄清两个基本不等式的应用及其等号成立的条件。在集体探究过程中，培养学生分类讨论思想、代换思想等；通过一题多解培养学生的发展性思维。教学重点：基本不等式的应用教学难点：不等式等号成立条件教学过程：创设问题情景：已知面积为2的矩形ABCD的边长为yx,，求矩形ABCD的对角线AC长的取值范围。——引出基本不等式的应用基本不等式1：对于任意实数ba,，有abba222，当且仅当ba时，等号成立。基本不等式2：对于任意正数ba,，有abba2，当且仅当ba时，等号成立。基本不等式揭示了两数和)(ba，两数积)(ab，两数平方和)(22ba之间的不等关系。问题一：1）已知Ryx,，且2xy，求22yx的取值范围。2）已知Ryx,，且222yx，求xy的取值范围。问题二：已知0,yx，且12yx，求yx11的最小值。2.6破解不等式解集的端点在不等式这一章中，有这样一类题目：已知不等式的解集，求参数的值。这类题目往往感觉无从下手，已知的不等式的解集这一条件不好用。下面通过几个例题来看一下这一条件的使用。例1：已知不等式ax-10的解集为（-，-1），求实数a的值。分析：设f(x)=ax-1，当a=0时，f(x)=-1不合题意舍去。f(x)=ax-1为一次函数，要想使f(x)0恰在（-，-1）成立，需满足0(1)0af即可。解：由题意可知：a0，且x=-1时，ax-1=0，所以a=-1。点评：不等式ax-10解集的端点-1实质上是一次函数f(x)=ax-1的图像与x轴交点的横坐标。即方程ax-1=0的根。4例2：已知不等式ax2+bx+20的解集为{x│-12x13}，求实数a、b的值。分析：由题意可知：a0，设f(x)=ax2+bx+2，要想使f(x)0恰在{x│-12x13}上成立，需满足01()021()03aff即可。21世纪教育网21世纪教育网解：由题意可知：a0，且-12、13是方程ax2+bx+2=0的解，由韦达定理得：112311223baa∴122ab点评：不等式ax2+bx+20解集的端点-12、13实质上是二次函数f(x)=ax2+bx+2的图像与x轴交点的横坐标。即方程ax2+bx+2=0的根。例3：关于x的不等式1axx1的解集为{x│x1或x2}，则实数a=。[来源:21世纪教育网]分析：原不等式可化为：1axx-10，设f(x)=1axx-1，它的图像是分布在直线x=1两侧的两部分连续的曲线，曲线与x轴的交点是曲线由x轴上方进入下方的分界点，它的坐标是方程f(x)=0的根。解：由x=2时，1axx=1得，a=12。点评：不等式1axx-10解集的端点1、2实质上是函数f(x)=1axx的图像与x轴交点的横坐标或使函数无意义的x的值。其中2是方程1axx=1的根。由以上三例可知，有理不等式解集的端点，就是不等式所对应方程的根或者使不等式无意义的x的值，只要将方程的根代入，就可求出参数的值。2.7不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）5Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型3：min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型4：21世纪教育网)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以x的范围是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：6（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以，)9,1[m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意x都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意x都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在ABC中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数m的范围。解析：由]1,0(sin,0,1sin22cos)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，]3,1()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf，即2)(2)(BfmBfm恒成立，]3,1(m21世纪教育网例4：（1）求使不等式],0[,cossinxxxa恒成立的实数a的范围。解析：由于函]43,4[4),4sin(2cossinxxxxa，显然函数有最大值2，2a。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式)2,0(4,cossinxxxa恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得xxycossin的最大值取不到2，即a取2也满足条件，所以2a。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知恒成立有时当21)(,)1,1(,)(,1,02xfxaxxfaax，求实数a的取值范7围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由12221)1(211aa及得到a分别等于2和0.5，并作出函数xxyy)21(2及的图象，所以，要想使函数xax212在区间)1,1(x中恒成立，只须xy2在区间)1,1(x对应的图象在212xy在区间)1,1(x对应图象的上面即可。当2,1aa只有时