上海市复旦大学附中2013届高三数学一轮复习-圆锥曲线与方程-沪教版

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若方程15222kykx表示双曲线，则实数k的取值范围是()A．2k5B．k5C．k2或k5D．以上答案均不对【答案】C2．若圆224xy上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是()A．221412xyB．221436xyC．229144xyD．221364xy【答案】C3．已知抛物线22(0)ypxp上一点(1,)(0)Mmm到其焦点的距离为5，双曲线221xya的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A．19B．125C．15D．13【答案】A4．在椭圆)0(12222babyax中，F，A，B分别为其左焦点，右顶点，上顶点，O为坐标原点，M为线段OB的中点，若FMA为直角三角形，则该椭圆的离心率为()A．25B．215C．552D．55【答案】A5．已知椭圆1532222nymx和双曲线222232nymx＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A．x＝±y215B．y＝±x215C．x＝±y43D．y＝±x43▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓【答案】D6．椭圆xy的离心率是()A．B．C．D．【答案】A7．已知直线01ymx交抛物线2xy于A、B两点，则△AOB()A为直角三角形B为锐角三角形C为钝角三角形D前三种形状都有可能【答案】A8．设双曲线222:1,(0,1),10xMyCxya点若直线交双曲线的两渐近线于点A、B，且2BCAC，则双曲线的离心率为()A．52B．103C．5D．10【答案】B9．双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点是抛物线28yx的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为()A．52B．5C．2D．233【答案】C10．已知直线y＝kx－2(k＞0)与抛物线C：x2＝8y相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝4|FB|，则k＝()A．3B．54C．34D．322【答案】B11．若直线l过点(3,0)与双曲线224936xy只有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C12．若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线xy22的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF取得最小值的M的坐标为()▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓A．0,0B．1,21C．2,1D．2,2【答案】D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知椭圆1162522yx的焦点为F1、F2，直线CD过焦点F1，则∆F2CD的周长为_______【答案】2014．已知A、B是椭圆22221(0)xyabab和双曲线22221(0,0)xyabab的公共顶点。P是双曲线上的动点,M是椭圆上的动点（P、M都异于A、B），且满足()APBPAMBM，其中R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为1k、2k、3k、4k,125kk,则34kk________.【答案】-515．若点P在曲线C1：28yx上，点Q在曲线C2：(x－2)2＋y2＝1上，点O为坐标原点，则||||POPQ的最大值是．【答案】47716．已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓【答案】217三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．过点C(0，1)的椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆与x轴交于两点(,0)Aa、(,0)Aa，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．(I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(Ⅱ）当点P异于点B时，求证：OPOQ为定值．【答案】（Ⅰ）由已知得31,2cba，解得2a，所以椭圆方程为2214xy．椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l的方程为313yx，代入椭圆方程得27830xx，解得12830,7xx，代入直线l的方程得1211,7yy，所以831(,)77D，故2283116||(0)(1)777CD．(Ⅱ）当直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为11(0)2ykxkk且．代入椭圆方程得22(41)80kxkx．解得12280,41kxxk，代入直线l的方程得2122141,41kyyk，所以D点的坐标为222814(,)4141kkkk．又直线AC的方程为12xy，又直线BD的方程为12(2)24kyxk，联立得4,21.xkyk因此(4,21)Qkk，又1(,0)Pk．所以1(,0)(4,21)4OPOQkkk．故OPOQ为定值．▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓18．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的离心率为233，且过点P（6，1）求出此双曲线C的方程；【答案】2213xy19．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1()022，，F2（0，22），且离心率e223。(I）求椭圆的方程；(II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为12，求直线l的斜率的取值范围。【答案】（I）设椭圆方程为yaxbcca2222122223，由已知，又解得a=3，所以b=1，故所求方程为yx2291解得kk33或又直线l与坐标轴不平行故直线l斜率的取值范围是{k∣kk33或}20．在平面直角坐标系xoy中，经过点0,2且斜率为k的直线l与椭圆2212xy有两个不同的交点PQ和.(1）求实数k的取值范围；(2）设椭圆与x轴正半轴，y轴正半轴的交点分别为,AB，是否存在常数k，使得向量OPOQAB与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.【答案】▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓(2）设1122(,),(,),PxyQxy则1212(,),OPOQxxyy由方程①，知1224212kxxk，②又1212222()2212yykxxk，③由(2,0),(0,1),AB得(2,1)AB.∴OPOQAB与共线等价于12122(),xxyy将②③代入，解得2.2k由①知2,2k2或k2故不存在符合题意的常数k．21．若直线l：0cmyx与抛物线xy22交于A、B两点，O点是坐标原点。(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。【答案】设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由202xycmyx得0222cmyy可知y1+y2=－2my1y2=2c∴x1+x2=2m2—2cx1x2=c2,(1)当m=－1,c=－2时，x1x2+y1y2=0所以OA⊥OB.(2)当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0于是c2+2c=0∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：02myx过定点(2,0).(3)由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。),(2mcmD而(m2—c+21)2－[(m2—c)2+m2]=c41由(2)知c=－2∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓22．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）．过抛物线在x轴上方的不同两点A、B作抛物线的切线AC、BD，与x轴分别交于C、D两点，且AC与BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N．(1）求抛物线的标准方程；(2）求证：MNx轴；(3）若直线MN与x轴的交点恰为F（1，0），求证：直线AB过定点．【答案】（1）设抛物线的标准方程为22(0)ypxp，由题意，得12p，即2p．所以抛物线的标准方程为24yx．(2）设11()Axy，，22()Bxy，，且10y，20y．由24yx（0y），得2yx，所以1yx．所以切线AC的方程为1111()yyxxx，即1112()yyxxy．整理，得112()yyxx，①且C点坐标为1(0)x，．同理得切线BD的方程为222()yyxx，②且D点坐标为2(0)x，．由①②消去y，得122112Mxyxyxyy．又直线AD的方程为1212()yyxxxx，③直线BC的方程为2112()yyxxxx．④由③④消去y，得122112Nxyxyxyy．▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚=^_^=成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃▄▅▆▇██■▓点亮心灯~~~///(^v^)\\\~~~照亮人生▃▄▅▆▇██■▓