参数函数的单调区间

第三章第16炼含参数函数的单调区间导数第16炼含参数函数的单调区间在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。一、基础知识：1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令'0fx解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x的限制有时会简化含参不等式的求解3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4、关于分类讨论的时机与分界点的确定（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：0xa，其解集为,a，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数a为何值，均是将a移到不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式20xa，第一步移项得：2xa（同样无论a为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现a的不同取值会导致不同结果，显然a是负数时，不等式恒成立，而a是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式2xa，a所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按a的符号进行分类讨论。（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解（4）当参数a扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。第三章第16炼含参数函数的单调区间导数例如：解不等式：110axx，可得：1210,1xaxa此时a扮演两个角色，一个是x的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定1x的大小，进而要和2x来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以x系数的正负，进行分类。①当0a时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于0a，以此为前提1201xx，故小大根不存在问题，解集为1,1a②当0a时，不等式变为10,1xx③当0a时，不等式解集为小大根之外，而1210,1xxa，12,xx的大小由a的取值决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视①③的对比）1201xxa时，不等式解集为1,1,a121xxa时，不等式化为2101xx121xxa时，不等式解集为1,1,a希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。二、典型例题：例1：已知函数1lnxfxxax，求fx的单调区间解：定义域0,x111lnfxxax'22111axfxaxxax令'0fx，所解不等式为10axa当0a时，即解不等式110axxafx的单调区间为：第三章第16炼含参数函数的单调区间导数x10,a1,a'fx+fx当0a时，10,0axa'0fx恒成立fx为增函数:例2：已知函数32331fxaxxa（1）若fx的图像在1x处的切线与直线113yx垂直，求实数a的值（2）求函数fx的单调区间解：（1）由切线与113yx垂直可得：'13f'236fxaxx'13631faa（2）思路：导函数'236fxaxx，令'0fx解单调增区间，得到含参不等式。分类讨论时注意a扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根解：'236fxaxx令'0fx即2360axx320xax①0a1220,xxa21xx（将a的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用件，在本题中使用0a的条件使得12,xx大小能够确定下来，避免了进一步的分类）fx的单调区间为：x,020,a2,a'fx+fx②0a21xxfx的单调区间为：第三章第16炼含参数函数的单调区间导数x2,a2,0a0,'fx+fx例3：已知函数22lnfxxax，求fx的单调区间解：定义域：0,x2'2222axfxaxxx，令'0fx，可得：2220ax即21ax当0a时，210,axxaafx的单调区间为：x0,aa,aa'fxfx当0a时，2lnfxx为增函数当0a时，2'22220axfxaxxx恒成立fx为增函数例4：讨论函数21ln1fxaxax的单调区间解：2'1212aaxafxaxxx令'0fx即2221021axaaxa（注意定义域为0,+，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）①0a时212axa（求解x需要除以2a后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从2a的第三章第16炼含参数函数的单调区间导数符号入手）1002aaa'0fx恒成立，fx在0,单调递增②0a函数ln1fxx为增函数③0a时212axa（下一步为开方出解集，按12aa的符号进行再分类）当102aa即1a时，'0fx恒成立，fx在0,单调递减当102aa即10a时，解得：102axafx的单调区间为：x10,2aa1,2aa'fx+fx小炼有话说：本题定义域为0,，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在10a时，表格中自变量的区间是从0x处开始分析的例5：已知函数22lnfxxaxx，讨论fx的单调性解：定义域为0,2'22221axaxfxxxx令'0fx即220xax考虑28a（左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与x轴有交点）①02222a时220xax恒成立，故fx在0,单调递增②22a时220xax的解221288,22aaaaxx12,0xx第三章第16炼含参数函数的单调区间导数220xax的解集为22880,,22aaaafx的单调区间为：x280,2aa2288,22aaaa28,2aa'fx+fx③22a时12,0xx0,x'0fxfx在0,单调递增小炼有话说：本题亮点在于②③的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。122xx，说明两根同号，而12xxa，说明a的符号决定12,xx的正负，从而在0的情况下进行再次分类讨论例6：已知函数1axafxeax，其中1a.（1）当1a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）求fx的单调区间．解：（1）12xfxex'2112xfxexx'13,12fefe切线方程为：321yeex，即2yexe（2）'2111,0axxaxfxaexx，令'0fx，即解不等式：1110axax①当1a时，解得：1x，故fx的单调区间为：x,11,00,'fx+第三章第16炼含参数函数的单调区间导数fx②当10a时1211,01xxa，所以解得：111xa故fx的单调区间为：x,11,010,1a1,1a'fx+fx③0a，则1fx，常值函数不具备单调性④0a时，解得：1x或11xa故fx的单调区间为：x,11,010,1a1,1a'fx+fx例7：已知函数21ln12fxxaxaxaR.求函数fx的单调区间.解：2'11111xaxxxaafxxaxxx令'0fx，即10xxa，120,1xxa（参数a角色：①12,xx的大小，②2x是否在定义域内，以①为目标分类）①2110xxa即1a（此时1a一定在定义域中，故不再分类）不等式的解集为10x或1xafx的单调区间为：x1,00,1a1,a'fxfx↗↘↗第三章第16炼含参数函数的单调区间导数②211xxa'20fxxfx在1,单调递增③2101xxa，要根据2x是否在1,0进行进一步分类当10a时，20,1x不等式的解集为0x或11xafx的单调区间为：当0a时，则10xa，不等式的解集为0x，fx的单调区间为：小炼有话说：（1）在求单调区间时面临一个'0fx的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。（2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。例8：已知函数2ln2fxxaxax，求fx的单调区间解：定义域|0xx2'221211122axaxxaxfxaxaxxxx令'0fx，即解不等式2110xaxx1,1a1,0a0,'fxfx↗↘↗x1,00,+'fxfx↘↗第三章第16炼含参数函数的单调区间导数（1）当0a时，可得10ax，则不等式的解为12xfx的单调区间为：x10,21,2'fx+fx（2）当0a时，1211,2xxa①12xx时，即1122aa，解得12x或10xafx的单调区间为：x10,a11,2a1,2'fxfx②122xxa，代入到2'210xfxx恒成立fx为增