指数对数概念及运算公式

指数函数及对数函数重难点根式的概念：①定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根.即，若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan.②性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(||aaaaaan幂的有关概念：①规定：1）naaaan(N*，2）)0(10aa，n个3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN*且)1n②性质：1）raaaasrsr,0(、sQ），2）raaasrsr,0()(、sQ），3）rbababarrr,0,0()(Q）（注）上述性质对r、sR均适用.例求值（1）328（2）2125（3）521（4）438116例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)43aa（２）aaa（３）32)(ba（４）43)(ba（５）322baab（6）4233)(ba例.化简求值（1）012132322510002.0827）（）（）（）（（2）21153125.0525.2311.0)32(256)027.0(（3）313373329aaaa（4）211511336622263ababab=（5）63231.512指数函数的定义：①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R，2）函数的值域为),0(，3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数.提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22xy（2）(2)xy（3）2xy（4）xy（5）2yx（6）24yx（7）xyx（8）(1)xya（a＞1，且2a）例：比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5与1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3与0.93.1例：已知指数函数()xfxa（a＞0且a≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)fff的值.思考：已知0.70.90.80.8,0.8,1.2,abc按大小顺序排列,,abc.例如图为指数函数xxxxdycybyay)4(,)3(,)2(,)1(，则dcba,,,与1的大小关系为Oxyadcb（A）dcba1（B）cdab1（C）dcba1（D）cdba11、函数2121xxy是（）A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数2、函数121xy的值域是（）A、,1B、,00,C、1,D、(,1)0,3、已知01,1ab,则函数xyab的图像必定不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限例．求函数xxy221的值域和单调区间例若不等式3axx22(31)x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______..f(x)=,1231,(2311xxxx，则f(x)值域为______.考查分段函数值域.【解析】x∈(－∞,1］时,x－1≤0,03x－1≤1,∴－2f(x)≤－1x∈(1,+∞)时，1－x0,031－x1,∴－2f(x)－1∴f(x)值域为(－2,－1］【答案】(－2,－1］例、已知2)(22xxxxeeeef，则函数)(xf的值域是_____________例点（2，1）与（1，2）在函数2axbfx的图象上，求fx的解析式例.设函数11()2xxfx，求使()22fx的x取值范围．例已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数。（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的取值范围；对数的概念：①定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数.1）以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg，2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog记作Nln②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数），2）01loga，3）1logaa，4）对数恒等式：NaNalog例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）54=645（2）61264（3）1()5.733m（4）12log164（5）10log0.012（6）log102.303e例：求下列各式中x的值（1）642log3x（2）log86x（3）lg100x（4）2lnex分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.练习：将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值.（1）12155（2）42logx（3）1327x（4）1()644x（5）lg0.0001x（6）5lnex例利用对数恒等式NaNloga，求下列各式的值：(1)5log4log3log354)31()51()41((2)2log2log4log7101.0317103(3)6lg3log2log100492575(4)31log27log12log2594532③运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）.④换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1）1loglogabba，2）.loglogbmnbanam对数函数的运算规律例．用logax，logay，logaz表示下列各式：（1）logaxyz；（2）23logaxyz．解：（1）logaxyzlog()logaaxyzlogloglogaaaxyz；例．求下列各式的值：（1）752log42；（2）5lg100．解：（1）原式=7522log4log2=227log45log2725119；（2）原式=2122lg10lg10555例．计算：（1）lg1421g18lg7lg37；（2）9lg243lg；(3)(4)lg2·lg50+(lg5)2(5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2（2）23logaxyz23log()logaaxyz23logloglogaaaxyz112logloglog23aaaxyz．解：（1）18lg7lg37lg214lg2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg20；（2）253lg23lg53lg3lg9lg243lg25；例．计算：（1）0.21log35；（2）4492log3log2log32．解：（1）原式=0.251log3log3555151553；（2）原式=2345412log452log213log21232．例．求值：(1)；(2)；(3)(3).例．求值(1)log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)对数函数性质典型例题例．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log3.4，2log8.5；（2）0.3log1.8，0.3log2.7；解：（1）对数函数2logyx在(0,)上是增函数，于是2log3.42log8.5；（2）对数函数0.3logyx在(0,)上是减函数，于是0.3log1.80.3log2.7；2、比较大小（1）212log_________)1(log22aa(2)alog________)1(,logaea3若02log)1(log2aaaa，则a的取值范围是（）（A）)1,0(（B）)21,0(（C）)1,21(（D）),1(4已知7.01.17.01.1,8.0log,8.0logcba，则cba,,的大小关系是（）（A）cba（B）cab（C）bac（D）acb例比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)loga5.1，loga5.9(a＞0且a≠1)例如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？提示：作一直线y＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0＜c＜d＜1＜a＜b例求下列函数的定义域.(1)y=(2)y=ln(ax-k·2x)(a＞0且a≠1，k∈R).例．求函数)32(log221xxy的单调区间解：设uy21log，322xxu，由0u得0322xx，知定义域为),3()1,(又4)1(2xu，则当)1,(x时，u是减函数；当),3(x时，u是增函数，而uy21log在R上是减函数)33(212logxxy的单调增区间为)1,(，单调减区间为),3(例函数20.50.5loglog2yxx的单调减区间是________。例已知y=log4(2x+3－x2).（1）求定义域；（2）求f(x)的单调区间；（3）求y的最大值，并求取最大值时x值.考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值.【解】（1）由2x+3－x20,解得－1x3∴f(x)定义域为{x|－1x3}(2)令u=2x+3－x2，则u0,y=log4u由于u=2x+3－x2=－(x－1)2+4再考虑定义域可知，其增区间是（－1，1），减区间是［1,3又y=log4u为(0,+∞)增函数，故该函数单调递增区间为1，1］，减区间为［1，3）（3）∵u=2x+3－x2=－(x－1)2+4≤4∴y=log4u≤log44=1故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.例求函数)106(log23xxy的最小值．变式．求函数)78lg()(2xxxf的定义域及值域．例已知函数y=f(2x)定义域为［1，2］,则y=f(log2x)的定义域为（）A.［1，2］B.［4，16］C.［０，1］D.（－∞,0］考查函数定义域的理解.【解析】由1≤x≤22≤2x≤4,∴y=f(x)定义域为［2，4］由2≤log2x≤4,得4≤x≤16【答案】B例作出下列函数的图像，并指出其单调区间．(1)y=lg(－x)，(2)y=log2|x＋1|(3)y=|log(x1)|(4)ylog(1x)122－，＝－．例已知函数f(t)=log2t，]8,2[t.（1）求f(t)的值域G；（2）若对于G内的所有实数x，不等式－x2+2mx－m2+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围.例已知函数f(x)=1421lg2aaaxx,其中a为常数，若当x∈(－∞,1］时,f(x)有意义，求实数a的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式（组）非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花明”.解：14212aaaxx0,且a2－a+1=(a－21)2+430,∴1+2x+4x·a0,a)2141(xx,当x∈(－∞,1]时,y=x41与y=x21都是减函数，∴y