第三讲第二节凸函数与凹函数

3.2凸函数与凹函数凸函数严格凸函数设:,fxDR是非空凸集，nRD若对任意的,(),xyDxy及任意的0,1都有：11fxyfxfy则称函数xf为D上的严格凸函数。注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义．凸函数对一元函数,xf在几何上211xfxf10表示连接2211,,,xfxxfx的线段．所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方．几何性质211xxf表示在点211xx处的函数值．f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xαf(x1)+(1-α)f(x2)f(X1)f(X2)X1X2αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)f(X)Xf(X1)f(X2)X1X2任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方αx1+(1-α)x2f(αx1+(1-α)x2)αf(x1)+(1-α)f(x2)例4.2.1(a)凸函数(b)凹函数例：设,12xxf试证明xf在,上是严格凸函数．证明:设,,Ryx且1,0,yx都有：yfxfyxf1122211111yxyx012yx因此,xf在,上是严格凸函数．凸函数例：试证线性函数是nnTxcxcxcxcxf2211nR上的凸函数．证明:设,1,0,,Ryx则yxcyxfT11yfxfycxcTT11故,xcT是凸函数．类似可以证明Tcx也是凹函数.凸函数凸函数定理1设xf是凸集nRD上的凸函数充要条件121ii11,,...,,0(1,2,...,),1,fxf(x).kkiiikkiiiixxxDik则性质詹生(Jensen)不等式)6()()(,1),2,1(,0],,[],[)(2111iniiiniiniiiixfxfnibax，bafJensen有任意则对上凸函数为若不等式例1),12,1(0],,[,1,221111,21kiiikkkibaxxxx，knknn及设时当时命题成立设时由定义显然成立当用数学归纳法证明)6(,)()()()())()()(1()()11()1()1)1(()(1,2,1,11111111111111111111111111111总有不等式凸函数由归纳法原理由假设则令fxfxfxfxfxfxfxfxxfxxxfxxxfkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkiikii凸函数定理2.)(max(x)),...,2,1(0),(xf(x),,...,,ki11i21上的凸函数都是和则上的凸函数是凸集SxfkiSfffiikiik性质正线性组合下面的图形给出了凸函数xyy24243,yxxyxf的等值线的图形，可以看出水平集是凸集.凸函数凸函数定理1:设xf是定义在凸集nRD上，,,Dyx令,1,0,1tyttxft则:(1)xf是定义在凸集是凸集D上的凸函数的充要条件是对任意的,,Dyx一元函数t为1,0上的凸函数.(2)设,,,yxDyx若t在1,0上为严格凸函数，则xf在D上为严格凸函数．凸函数凸函数的判别定理该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之间的部分是一段向下凸的弧．凸函数定理4设在凸集nRD上xf可微，则：xf在D上为凸函数的充要条件是对任意的,,Dyx都有：.xyxfxfyfT严格凸函数(充要条件)??凸函数凸函数的判别定理---一阶条件注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸函数的依据.()Tfyfxfxyxxy凸函数定理4-----几何解释一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方.凸函数定理4-----几何解释一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方.定理5:设在开凸集nRD内xf二阶可微,则xf是D内的凸函数的充要条件为:对任意,Dxxf的Hesse矩阵xG半正定,22221222222122122122122nnnnnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxfxG其中：凸函数凸函数的判别定理---二阶条件例：.)2(.)1(,21)(:为正定矩阵条件是上的严格凸函数的充要是为半正定矩阵是上的凸函数的充要条件是阶对称矩阵，则是其中为二次函数，即设QRfQRfnQcxbQxxxfRRfnnTTn凸函数凸函数的判别定理---二阶条件凹函数•凸集的上等值集，或者直观的说，凹函数就是凸集的边界)(1xf)(2xf)()1()(21xfxf])1([21xxf0)(f凹函数的经济意义消费者问题边际效用递减生产者问题边际产量递减N维问题边际替代率递减凹函数的例子CD生产函数：4.06.0LKy投入组合1：)10,20(X15.1510204.06.0y投入组合2：)20,10(X19.1320104.06.0y混合的投入：15)5.05.0(XXf平均为14.17凹函数的例子注意：只对要素价格w是凹的。时当5.0212wwyC第一种要素价格上升，减少其投入量，增加第二种要素投入，但它的价格维持不变，所以总成本上升小于价格上升幅度。211])()[(wwyC成本函数：凸函数的例子kwkwpkwwp21111121)1(),,,(利润函数：时，当5.0kwkwp21241显然0211kw故利润函数为凸函数