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1嘉应学院本科毕业论文(设计)(2014届)题目:拉格朗日中值定理的推广及其应用姓名:徐佳琳学号:101010045学院:数学学院专业:数学与应用数学(师范)指导老师:温坤文申请学位:学士学位嘉应学院教务处拉格朗日中值定理的推广及其应用I摘要拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一,在理论和应用上都有极其重要的意义.本文先对拉格朗日中值定理作了一定的阐述,并将其进行了推广,然后通过对几种类型问题的解决,对拉格朗日值定理的应用作一些探讨和归纳,以起到对定理的深入理解,熟悉掌握并能够正确应用的作用.关键词:拉格朗日中值定理,定理的推广及应用,极限,不等式,级数的敛散性.拉格朗日中值定理的推广及其应用IIAbstractLagrangemeanvaluetheoremisoneofthebasictheoremofdifferentialcalculus,Ithasextremelyimportantmeaninginthetheoryandapplication.ThisarticlefirsttomaketheLagrangetheoremcertain,andputittothepromotion,thenthroughseveraltypesonthesolutionoftheproblem,anditwillmakesomediscussionsandstudiesontheapplicationoflagrangemeanvaluetheorem.It’spurposeistohavein-depthunderstandingoftheorem,theroleofexpertknowledgeandbeabletocorrectapplication.Keywords:Lagrangemeanvaluetheorem,Thegeneralizationandapplicationofthetheorem,Thelimit,Inequality,Theconvergenceanddivergenceoftheseries.拉格朗日中值定理的推广及其应用11.引言罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理,这些定理都具有中值性,所以统称微分学中值定理,以拉格朗日中值定理为中心,他们之间的关系可用简图示意如下:以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础,尤其是拉格朗日中值定理,他建立了函数值与导数值之间的定量联系,因而可用中值定理通过导数研究函数的性态,中值定理的主要作用在于理论分析和证明,例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等重要函数性态提供重要理论依据,从而把握函数图像的各种几何特征.拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一,拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心,它有许多推广,这些推广都有一个基本特点,就是把定理条件中可微性概念拓宽,然后推广微分中值表达公式.除此之外,拉格朗日中值定理在理论和应用上也有着极其重要的意义.该定理叙述简单明了,并有明确的几何意义,一般掌握问题不大,但要深刻认识定理的内容,特别是中值点的含义,就有较大难度.总之,微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁,是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具,而著名的拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理,是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具,必须深刻认识定理的内容,熟练掌握定理的本质,在解题时游刃有余,若对定理的实质了解不够深刻的话,会进入不少误区.现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨,以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用.2.拉格朗日中值定理定理2.1(拉格朗日中值定理)若函数)(xf满足下列条件:(i))(xf在闭区间],[ba上连续;(ii)在开区间),(ba内可导,则在),(ba内至少存在一点,使得罗尔定理特例柯西定理泰勒公式拉格朗日中值定理推广拉格朗日中值定理的推广及其应用2abafbff)()()(.3.拉格朗日中值定理的推广命题3.1若函数)(xf在开区间),(ba内可导,函数极限)(lim)(limbxfxfxax与都存在;则至少存在一点),(ba,使得bafabxfxfaxbx),()(lim)(lim.证明不妨记Axfax)(lim,Bxfx)(limb,令函数.,,,,),()(bxBaxAbxaxfx则函数)(x在闭区间],[ba上连续,函数)(x在开区间),(ba内可导,)()(xfx.由拉格朗日中值定理,至少存在一点),(ba,使得),()()(abab又)(lim)(bxfBbx,)(lim)(xfAaax,)()(f,所以bafabxfxfaxbx),()(lim)(lim.命题3.2若函数)(xf在),(内可导,函数极限)(limxfx与)(limxfx都存在;则至少存在一点),(,使得.),()1()(lim)(lim2fxfxfxx证明令,2,2,tanttx则复合函数)(tan)(tft在开区间2,2内可导,其拉格朗日中值定理的推广及其应用3导数为.sec)(tansec)()(22ttftxfdtdxdxdft由已知函数极限)(lim][tanlim)(lim22xftftxtt,与)(lim][tanlim)(lim22xftftxtt,都存在.由命题3.1,至少存在一点2,2,使得222sec)(tan)()2(2)(lim)(limftttt,令tan,则2,2时,),(,并且2221tan1sec.所以,至少存在一点),(,使得.),()1()(lim)(lim2fxfxfxx命题3.3若函数)(xf在开区间),(a内可导,函数极限)(limxfax与)(limxfx都存在,则至少存在一点),,(a使得),.()()()(lim)(lim11211fbabababxfxfaxxaab,0,max1.证明令0,max1ab,且),,(,)(111battbtabx则复合函数tbtabft11)()(在开区间),(1ba内可导,其导数为,)()()()()()()(2111112111tbbabtbtabftbbabxfdtdxdxdft拉格朗日中值定理的推广及其应用4由已知函数极限)(lim)(lim)(lim11xftbtabftaxatat,与)(lim)(lim)(lim1111xftbtabftxbtbt,都存在.由命题3.1,至少存在一点),,(1ba使得,)()()()()(lim)(lim21111111bbabbabfabttatbt令,)(11bab则),(111baabb时,),,(a所以,至少存在一点),,(a使得.,0,max),()()()(lim)(lim111211aabfbabababxfxfaxx命题3.4若函数)(xf在开区间),(b,使得.,,0min),()()()(lim)(lim111211bbafababaabxfxfxbx证明令ba,0min1,且),,(,)(111batattabx则复合函数11)()(attabft在开区间),(1ba内可导,其导数为,)()()()()()()(2111112111atabaattabfatabaxfdtdxdxdft由已知函数极限)(lim)(lim)(lim11xfattabftbxbtbt,与)(lim)(lim)(lim1111xfattabftxatat,拉格朗日中值定理的推广及其应用5都存在.由命题3.1,至少存在一点),(1ba,使得,)()()()()(lim)(lim21111111aabaaabfabttatbt令,)(11aab则),(111baaba时,),,(b所以,至少存在一点),,(b使得.,,0min),()()()(lim)(lim111211bbafababaabxfxfxbx显然,有如下的推论:若把上述命题的第二个条件加强为:有关的函数极限存在且相等,则至少存在一点属于上述各区间,使得0)(f.于是我们得到了推广的罗尔中值定理.不难看出,推广的罗尔中值定理,有其明确的几何意义:在符合定理的条件下,曲线)(xfy在点)(,f处有水平的切线.4.拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用广泛,可用于计算、证明、估算、判定等,在应用中灵活性较大,下面从求极限、证明不等式、判别级数敛散性等方面对拉格朗日中值定理的应用做进一步的研究.4.1利用拉格朗日中值定理求极限用拉格朗日中值定理,最重要的是去找函数)(xf和相应的区间],[ba,而公式可变形为:).()()(fabafbf它的左端是有特点的,恰好是)(xf在区间],[ba上的增量与],[ba的区间长度的比值.因此公式变形后就可以确定函数)(xf和相应的区间],[ba.例1.求极限:xxeexxxsinlimsin0.拉格朗日中值定理的推广及其应用6解函数tey在xxsin,或xx,sin上运用拉格朗日中值定理,得exxeexxsinsin(在x与xsin之间).,可知时,当0,0sin0xx故1limsinlim0sin0exxeexxx.例2.设)(xf连续,0)(af,有公式)()()(xafxafxaf,(1)试求.lim0x解对函数)(xf在xaa,或],[xxa上运用拉格朗日中值定理,得)()()(1xafxafxaf)10(1,代入(1)式,得)()()()(12xafxafxafxaf.(2)将)(xaf按泰勒公式展开:)(2)()()(22xafxafxafxaf)10(2,(3)由(2)(3)得)(21)(21xafxaf,故21)(2)()(2)(limlim1200afafxafxafxx.例3.求极限:nmxxnxm11lim1.解令yxyyxf1),(在],[nm或],[mn上对变量y运用拉格朗日中值定理,得拉格朗日中值定理的推广及其应用72)1(ln1)(11xxxxnmxnxmnm(在nm,之间),故))(1(2ln)(lim)1(ln1)(lim11lim111211211xxxxxxnmxxxxnmxnxmx
本文标题:拉格朗日中值定理的推广及其应用
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