四年级奥数详解答案第3讲数阵图

四年级奥数详解答案第3讲第三讲数阵图一、知识概要1.数阵图就是把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的条件。2.数阵图的种类，大致分为三种：①封闭型数阵图；②开放型数阵图；③复合型数阵图3.解数阵图的一般方法：(1)分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选用使用次数多的数作为关健数。(2)依据图中条件，建立所求的和与关健数的关系式，并通过讨论最大值与最小值，以及试验的办法确定关键数的数值及相等的和。(3)对其他部位上的数字一般都是作尝试选填，直至符合题为止二、典型例题精讲1.把1～6这6个数分别填在图中的○内，使每多边上三个○内的数字和相等。分析指导：2165432121+(a+b+c)=(a+d+b)+(b+f+c)+(a+e+c)a+d+b=b+f+c=a+e+c,且设a+d+b=k有:21+(a+b+c)=3k当a+b+c为最小值，即1+2+3=6时，k=9当a+b+c为最大值，即6+5+4=15时，k=12这样就可以确定，三角形每边上的三个○内的数字和在9～12之间解：(1)当k=9时，a+b+c=6,令a=1,b=2,c=3则：d=9-(2+1)=6e=9-1-3=5f=9-2-3=4其结果如下图所示：(2)当k=10时，a+b+c=9,则：a.b.c的取值有三种可能：①a=1,b=2,c=6②a=1,b=3,c=5③a=2,b=3,c=4-----①种情况，a=1,b=2,c=6,则d=10-1-2=7(不合题意，舍去)-----②种情况，a=1,b=3,c=5,则d=10-1-3=6，e=10-1-5=4;f=10-3-5=2,所以结果如图所示。------③种情况，a=2,b=3,c=4,则d=10-2-3=5，e=10-2-4=6,f=10-3-4=3,与b=3重复，不合题意，舍去。(3)当k=11时，则a+b+c=12,这时a、b、c的取值，又有如下几种情况：①a=1,b=5,c=6,d=11-1-1=5与b=5矛盾，舍去。②a=2,b=4,c=6,d=11-2-4=5,e=11-8=3,f=11-10=1结果如图所示。③a=3,b=4,c=5,d=11-7=4,与b=4矛盾，舍去。(4)当k=12时，则a+b+c=15,这时a、b、c的取值为a=4,b=5,c=6,d=12-9=3,e=12-11=1,f=12-10=2结果如图所示：综合以上分析，本题有四种不同的填法。2.1～12中的部分数字已填入图中，请将其余的数字补充填入，使得每条直线上的四个数的和都相等。分析指导：①求出1～12的和。每个○内的数都重复计算了一次，六条直线数字之和=1～12的和的2倍。②求出每条直线上的数字之和。③中间数尝试几次便可试出。解：①1～12的和：(12+1)×12÷2=78②每条直线数字之和：78×2÷6=156÷6=26b+a=26-10-1=15,则a和b的取值为只能是8和7，这样问题就解决了。结果如图所示：3.将1～10这十个数字填入图中的10个○内，使每个四边形四个顶点上各数的和等于24。分析指导：这个数的突破口是：题中有3个“正方形”，两个位置上的数字被重复使用。三个“正方形”的顶点上各数的总和应是：24×3=72，而1～10这十个数字的总和是：(10+1)×10÷2=55，所以中间重复使用的两个数之和应是：72-55=17，重复使用的两个数的取值范围有10和7；9和8两种情况，本题可能有两种答案，先试第一种：当中间数为10和7时，有：10+7+1+6=24，10+9+2+3=2，7+8+4+5=2，符合题意，结果如图所示：再试第二种：当中间数为9和8时，有：9+8+4+3=24，10+8+5+1=249+7+6+2=24，符合题意，结果如图所示综合上述分析，此题有2种填法。4.把1～8各数填入图中的○内，使每个面上四个数的和等于18。分析指导：这是个立体图形，四个顶点上的数字被重复使用，但没有“关键数”，我们可以“1”这个特殊数填入任意一个位置，则和“1”组成18的情况有：1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+7+6+4=18先将上述任意一组的四个数放入其中一个面的四个圆圈(大、小数间开)，以其为基础进行调整，可得到答案。结果如图所示：5.20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入图中的○内，(“3”已填好)，使得箭头线连接的四数之和都相等。分析指导：要填的七个数是：1、5、7、11、13、17、19。这七个数之和是：1+5+7+11+13+17+19=73。最后一个○里的数是关键数。因为两头一去掉，中间只有6个字，(73-1)÷3=24，也就是说，中间每组两数之和是24。当最后一个○内填1时，则中间六个数为：5和19，7和17，11和13，结果如图所示：当最后一个○内填5时，则中间六个数的和为73-5=68，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个○内填7时，则中间六个数的和为73-7=66，66÷3=22，22-19=3，不合，舍去。当最后一个○内填11时，则中间六个数之和为73-11=62，不能被3除，不合舍去。当最后一个○内填13时，则73-13=60，60÷3=20，20-17=3，超出可选范围，不合，舍去。当最后一个○内填17时，则73-17=56，不能被3整除，不合，舍去。当最后一个○内填19时，则73-19=54，54÷3=18，18-17=1，18-13=5，18-11=7。符合题意，结果如图所示：综合上面分析，本题有两种填法。6.将1～12这十二个数分别填入图中的○内，使每条线上五个数的和相等，并且两个六边形六个顶点上○内的数的和也相等。分析指导：1.先考虑每条线上五个数和相等2.再考虑六个顶点上的数的和相等。1.1～12的和为：(12+1)×12÷2=78每行四个○内的数之和应该是78÷3=26,26÷2=13则为两个○内数之和，两数之和为13的情况有：1和12，2和11，3和10，5和8，6和7如图所示：2.为满足六个顶点数字之和相等，其数字之和应该是26+13=39。将右图适当调整可得。结果如图所示。51111913177517131571119三、练习巩固与拓展1.将4、5、6、7、8、9六个数，填在图中的“○”里，使每条线上的三个数的和都是18。2.图中有10个小三角形，4个大三角形，请把0～9填入小三角形内，使4个大三角形内的数字之和相等。3.把1-8个数分别填入图中的○里，使四边形每条边上三个数的和都等于12.4.把10～19这十个数分别填入右图中的○内，使三角形每条边上四个数的和相等。5.在下图中各圆的空含部分填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和都是156.将数字1～7填入图中圆锥的7个小圆圈内，使三条线段上的3个数之和，两圆周上3个数之和均相等。7.将1-7这七个数字填入图中的○内，使每条线上三个数的和相等。8.在图中的几个○内各填一个数，使每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已经填好两个数，那么x=()9.将1、3、5、7…19，这十个数分别填入图中的○内，使每条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等。10.将1～8这八个数字分别填入图中，使每个圆圈上五个数的和分别为20、21、22。第三讲练习巩固与拓展答案1.每条线三个数的和是18，三条线九个数的和18×3=54，但三个顶点上的数已重复计算，所以应用54(4+5+6+7+8+9)的和，即54-39=15这个“15”就是三个顶点上的数的和.2.解：①中心那个特殊位置放“0”②0～9的和为：(9+0)×10÷2=4545÷3=15即每个三角形里的数的和为15。下列三组数的和为15：a1、6、8；b3、7、5；c2、4、93.解：1～8的和是：(8+1)×8÷2=36而四条边的和则为12×4=48四角上的四个数之和应为：48-36=1212=1+2+3+6四角上要满足填1、2、3、64.(提示：三个顶点上先填12、13、17这三个数。)5.已知三个圆中的两数之和分别为8、12、10；而圆中的四数之和又为15。15-8=715-12=315-10=5为了不出现重复现象取7=1+6、3=1+2、5=1+4、“1”是共有的数，填入中心位置。6.设顶点数为a，则有：2×(1+2+…+7)+a=56+a(7个圆圈的数字之和)。由于线段和圆圈的数字和相等，因而(56+a)应能被5整除，那么，a只能为4，56+4=6060÷5=12即三个数的和为12。12-4=8(两数之和)两数之和等于8的情形有：3+5，2+6，1+7。7.此题要先求中间数。设中间数为x，则有三条线段上的数字之和为：(1+2+3+…+7)+2x=28+2x(28+2x)应是3的整数倍x的取值范围是：1、4、7这样就出现三种情形。(1)当x=1时，三数之和为(28+2×1)÷3=30÷3=10(2)当x=4时，三数之和为(28+2×4)÷3=36÷3=12(3)当x=7时，三数之和为(28+2×7)÷3=42÷3=148.x=99.10.