南邮电磁场数学方法课后习题答案

第七章1.在00x的领域上求解常微分方程)(02''是常数wywy.解：kkxkxxaxy2420)()!2(1)1()(!41)(!211)(12531)()!12(1)1()(!51)(!31)(kkxkxxxaxaxasincos10.2.在00x的领域上求解雅可比方程0)1()2()1('''2yyx.解：00x是方程的常点.设0nnnxay（1）则0)1()1(kkkxa（2）11')()(nnnxnay01)1()(kkkxak（3）1')2()2(nnnnxayx1)2(kkkxka（4）0222'')2)(1()1(kkknnnxakkxanny（5）22''2)1()1(nkknnnxkakxnanyx（6）把（2）（6）代入雅可脾方程可得系数递推公式：0)1()2()1()1)(()2)(1(12kkkakkkakakk122kkakakakkkkk)2)(1()1()2()1(，即122kkakakakkkk)2)(1()1)((可以写出前面几个系数，但难以写出一般的系数公式。3.在00x的领域上求解0'''yxyxy。解：这里00x是方程的正则奇点。令1)(kkkxaxy，代入方程，把各幂次项集合如下表。1sxsxksx''xysass)1(1)1(ssas1))(1(ksaksks'xyssaksaks)(ysaksa由最低幂项系数为零，得0)1(sass，0,1,021ssas（1）取11ss，这时系数递推公式是：12)2)(1(kkakkka（2）当0k时，,0,0,02112aaaa推知),1(,0kak从而得到方程的一个特解：xaxy11)(（3）由于10121ss为整数，所以对于判定方程较小根2s对应的另一个特解的形式是：02ln)(kkkxbxAxxy且11'2ln)(kkkxkbxAAxy22''2)1()(kkkxbkkxAxy代入原方程，集合如下表.0xxxlnxkx''2xyA22b1)1(kkbk'2xyA1bAkkb2y0bA1bkb令上表各幂次项系数为零，有0bA0AA，知A为任意02112bbAb，知22Ab，1b为任意)2(,)1(11kbkkkbkk推之有：AAbb!31!212132132123Abb!4!3!243234Akkkbk!)!1()!2(2212!)!1()!2(1ln!)!1()!2(ln)(kkkkxkkkxxxAAxkkkxbAxAxxy（4）故21021!)!1()!2(1ln)()()(kkxkkkxxaxaxyxyxy。欧勒型常微分方程在00x的邻域上求解)(0222为常数mymyxyx解：把方程写成标准形式，系数xxp/1)(，22/)(xmxq，则00x为)(xp的一阶极点，为)(xq的二阶极点。因此0x为方程的正则奇点.把kskssksksskskssxaksksxsasxassxyxxaksxasxsaxyxxamxamxamxym)1)(()1()1()()()1()()(11021102112022代入常微分方程，然后相加，令各个幂次合并后的系数分别为零，得到一系列方程为222002221122222[(1)]0[]0[(1)(1)]0[(1)]0[(2)(1)(2)]0[(2)]0sssmasmasssmasmasssmasma考虑到第一个系数00a，则第一个方程为判定方程022ms由此得到第一项的幂次为ms1和ms2先取ms1，那么第二个方程成为00])1[(1122aamm，第三个方程成为00])2[(2222aamm，同理得到)1(0kak。因此，常微分方程的一个特解为mxxy)(1再取ms2，同理得)1(0kak。那么，常微分方程的另一个特解为mxxy)(2因此常微分方程的通解为mmDxCxxy)(。9.在00x的邻域上求解阶贝塞尔方程0)(222yxyxyx(为常数)解：把该方程写成标准形式，则系数xxp/1)(和22/1)(xxq在00x点分别为一阶奇点和二阶奇点，因此00x点为贝塞尔方程的正则奇点.把ksksskskssksksskskssxaksksxsasxassxyxxaksxasxsaxyxxaxaxaxyxaxaxaxyx)1)(()1()1()()()1()()()(11021102112022221202代入常微分方程，并合并各项，令各个幂次合并后的系数分别为零，得到一系列方程为0])[(0])2[(0])1[(0][2220222122022kkaaksaasasas考虑到第一个系数00a，则第一个方程为判定方程022s由此得到第一项的幂次为1s和2s第二个方程00])1[(1122aa。利用后面的各式进行系数的递推，得到递推公式为0])[(222kkaaks也即2222))((1)(1kkkaksksaksa先取1s，递推公式成为2)2(1kkakka，因此20023142042022111(22)21!(1)210(23)311(24)42!(1)(2)211(1)!(1)(2)()20kkkkaaaaaaaaaakka因此贝塞尔方程的一个特解为2410211()11!(1)22!(1)(2)21(1)!(1)(2)()2kkxxyxaxxkk该级数的收敛半径为)2(lim|/|lim2kkaaRkkkk因此只要x有限，级数就是收敛的。通常取)1(210a式中)(x为函数，若为整数，那么!)1(。此时把这个解称为阶贝塞尔函数，记为)(xJ022)1(!1)1()(kkkxkkxJ再取2s，递推公式成为2)2(1kkbkkb因此20023142042022111(22)21!(1)210(32)311(42)42!(1)(2)211(1)!(1)(2)()20kkkkbbbbbbbbbbkkb因此，贝塞尔方程的另一个特解为kkxkkxxxbxy2422022)()2)(1(!1)1(2)2)(1(!2122)1(!111)(该级数的收敛半径为)2(lim|/|lim2kkbbRkkkk因此只要x有限，级数就是收敛的。通常取)1(210b把这个解称为阶贝塞尔函数，记为)(xJ022)1(!1)1()(kknkxkkxJ因此，阶贝塞尔方程的通解就是两个特解的线性叠加.)()()(21xJCxJCxy式中1C和2C为常数。若取ctg1C、csc2C，并代入通解中可以得到一个特解，该特解可以作为阶贝塞尔方程的第二个线性独立的特解，称为阶诺依曼函数，也即sin)(cos)()(xJxJxN因此阶贝塞尔方程的通解还可以写成)()()(21xNCxJCxy10.在00x的邻域上求解21阶贝塞尔方程0])([22122yxyxyx解：由判定方程解出两个根为211s和212s。对应于较大的根211s，有一个特解为贝塞尔函数为xxxkxxkxxkkkkxxkkkxkkkxkkxJxykkkkkkkkkkkkkkkkkkksin2)()!12(1)1(2)()!12(1)1(2)(135)12)(12(24)22(2)1(2)(21135)12)(12(!)1(2)()1)((!)1(2)(!1)1()()(0120202020221212121022312121212121由于判定方程两根之差121ss为整数，第二个特解的形式为2/12/12lnsin2ln)()(21kkkkkkxaxxxAxaxxAJxy该特解代入贝塞尔方程中，可以证明0A令各个幂次的项分别等于零，可以得到xxaxycos1)(212若令/221a，则xxxJcos2)(21因此方程的通解为)()()(212121xJCxJCxy由此可以推广到半奇数)(21l阶贝塞尔方程的求解。判定方程为211ls和)(211ls，两根之差为1221lss为整数。对应于211ls的一个特解为21l阶的贝塞尔函数，也即022121212)1(!)1()(kklklxklkxJ第二个线性独立的特解可以用)2/1(2ln)()(21lkkklxbxxAJxy代入方程中，可以证明0A，因此第二个特解仍可以用0221)(21212)1(!)1()(kklklxklkxJ因此)(21l阶贝塞尔方程的通解为)()()()(212121xJCxJCxyll11.在00x的邻域上求解整数m阶贝塞尔方程0)(222ymxyxyx(m为整数)解：贝塞尔方程对应ms1的一个特解为02022)!(!1)1(2)1(!1)1()(kkmkkkmkmxkmkxkmkxJ而对应ms2的另一个特解为022)1(!1)1()(kkmkmxkmkxJ如果m是整数，只要mk，则1km是负整数，而负整数的函数为无限大，因此这个级数实际上只从mk开始，也即21()(1)!(1)2mkkmkmxJxkmk令mkl，则20201()(1)()!(1)21(1)(1)()!!2(1)()mllmmlmlmllmmxJxlmlxlmlJx因此，第二个特解实际上就是第一个特解.对于