生产计划安排最优化模型

生产计划安排最优化模型摘要本文是针对工厂生产计划的安排对总利润的影响问题，通过对题目的分析，建立线性规划模型，利用Lingo软件对模型进行编程求出最优解，最终完整地解决这一问题。分析题意，可知总利润=总销售利润-总存储费用，据此我们建立了本题的目标函数。同时依据题目的要求，可以得出对目标函数的约束条件可分为各种产品每个月的产量约束，各种产品每个月的存储量约束，各种产品每个月的生产时间约束，然后根据这三种约束条件可得出各个约束式，因此，已知目标函数与约束条件，再通过利用Lingo软件进行编程求出最优解，最终得出六个月的最大利润为937115元。从Lingo软件的求解中，可以得出各个月的生产计划安排，同时我们对各个月的生产计划表进行分析，发现各个月都有不生产的产品，而这些产品销售量都符合各个月的最大需求量要求，而特别的是一月份无生产产品VII，经过对题目的分析，发现生产产品VII所需的单位设备所需台时，比生产其他产品的单位设备所需台时要耗时，因此不生产产品VII是符合最大利润要求，从而得出各个月的生产计划安排都符合题意要求。最后根据求解结果对每个月生产情况的合理性进行了分析，得出的结论是：根据模型所建立的生产计划是科学合理的。关键字：生产计划，线性规划，lingo问题重述企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产。对于生产、库存与设备维修更新的合理安排对企业的生存和发展具有重要的意义。已知某工厂要生产7种产品，以I，II，III，IV，V，VI，VII来表示，但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动，现只能给出大约利润如下。产品IIIIIIIVVVIVII大约利润/元1006080401109030该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如下表。单位所需台时设备IIIIIIIVVVIVII磨床0.50.7//0.30.20.5立钻0.10.2/0.3/0.6/水平钻0.2/0.8///0.6镗床0.050.03/0.070.1/0.08刨床//0.01/0.05/0.05从1月到6月，维修计划如下：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备当月不能安排生产。又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如下表所示。IIIIIIIVVVIVII1月50010003003008002001002月60050020004003001503月300600005004001004月20030040050020001005月0100500100100030006月500500100300110050060每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元，但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。1月初无库存，要求6月末各种产品各储存50件。若该工厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，问该厂应如何安排生产，可使总利润达到最大。1.模型的假设与符号说明2.1模型的假设1.假设工厂的设备都不是全新的；2.假设工厂的设备每天连续工作16小时，不受换班影响；3.假设工厂设备的维修不收取费用。产品2.2符号说明Z表示六个月的总利润Pij表示第i个月第j种产品的产量Rij表示第i个月第j种产品的库存量Sij表示第i个月第j种产品的销售量Qij表示第i个月第j种产品的最大需求量Nki表示第k种设备第i个月的可用数量Xij表示第i个月第j种产品的单位利润Tkj表示第k种设备第j种产品的单位所需台时(其中i代表月份i=1,2,3…6，j代表产品的种类j=1,2,3…7，k代表设备的种类k=1,2,3…5，注：其他符号在相关位置再作假设。)2.问题分析企业是一个有机的整体，企业管理是一个完整的系统，由许多子系统组成。在企业的管理中，非常关键的一部分是科学地安排生产，即生产计划。而生产计划就是一种关于企业生产运作系统总体方面的计划，是企业在计划期应达到的产品品种、质量、产量和产值等生产任务的计划和对产品生产进度的安排。对于本问题明显是一个线性规划问题，由于各类产品的销售利润不同，生产的时间不同，因此，以各个月利润最大为目标，通过对题目数据的分析，最终求出最大总利润。从题目中可以得知，要求出这6个月的总利润，则需要求出6个月的产品销售总利润，同时要求出6个月的总存储费用。从而能够得出以下公式：总利润=销售总利润-总存储费用首先从公式可以得出，要总利润最大，则销售总利润必须最大，同时总存储费用必须最小。再结合题目，可以得出对目标函数的约束条件可分为各种产品每个月的产量约束，各种产品每个月的存储量约束，各种产品每个月的生产时间约束，然后根据这三种约束条件可得出各个约束条件式子，通过利用lingo软件编程计算出最优解。3.模型的建立与求解4.1线性规划模型依据问题分析，要求出6个月的总利润，则需要求出每个月的利润，而每个月的总利润应当等于每个月的销售利润减去每个月存储费用，然后将这6个月的利润加起来，从而得出目标函数MaxZ。根据题意可得，每个月各种产品的库存量应当等于上个月的库存量加上当月的产量减去当月的销售量，而由于1月初无库存，因此1月份的库存量当直接等于当月的产量减去当月的销售量，从而得出约束条件(1)，(2)。从题目中可知，工厂的设备每月工作24天，每天工作16小时，但是由于各种设备对各种产品的单位生产时间不同，同时每个月都有设备需要进行维修，每个月的各种设备可用数量不同，因此各种设备每个月的工作总时间不得超过该设备每个月的最大可工作时间，公式如约束条件(3)所示。由于各个月各种的产品库存量要求不得超过100件，并且要求6月末各种产品各储存需要有50件，同时要求每个月各种产品的销售量不得超过每个月各种产品的最大需求量，因此得出约束条件(4)，(5)，(6)。综合以上的分析，结合题意，建立如下的线性规划模型：目标函数：约束条件：根据以上模型，利用lingo软件编写代码计算得出这6个月的最大利润为937115元。4.2生产计划公司的生产计划，依据利润最大化的宗旨进行。按照Lingo求解结果，我们得到了各个月各种产品的详细生产计划表，如下：表1一月份生产计划表产品生产量销售量库存量利润（元）I500500050000.00II888888053280.00III3833008323585.00IV300300012000.00V800800088000.00VI200200018000.00VII0000.00单月总利润244865.00表2二月份生产计划表产品生产量销售量库存量利润（元）I70060010059500.00II60050010029500.00III117200016000.00IV0000.00V50040010043500.00VI300300027000.00VII2501501004000.00单月总利润179500.00表3三月份生产计划表产品生产量销售量库存量利润（元）I0100010000.00II010006000.00III0000.00IV0000.00V0100011000.00VI400400036000.00VII010003000.00单月总利润66000.00表4四月份生产计划表产品生产量销售量库存量利润（元）I200200020000.00II300300018000.00III400400032000.00IV500500020000.00V200200022000.00VI0000.00VII10010003000.00单月总利润115000.00表5五月份生产计划表产品生产量销售量库存量利润（元）I0000.00II10010006000.00III60050010039500.00IV10010004000.00V11001000100109500.00VI300300027000.00VII1000100-500.00单月总利润185500.00表6六月份生产计划表产品生产量销售量库存量利润（元）I5505005049750.00II5505005029750.00III050503750.00IV3503005011750.00V050505250.00VI5505005044750.00VII050501250.00单月总利润146250.004.模型的结果分析从Lingo的结果输出（详见附录二和附件：Lingo求解结果及数据分析表.xlsx）中，可以得到以下信息：1)单月利润由大到小排列是：一月、五月、二月、六月、四月、三月。各月利润趋势以及利润排名图如下所示：图1各月利润趋势图图2各月利润排名图2)虽然每月销售量基本与每月最大需求量相符，但是每月实际利润排名与每月的饱和利润（卖出的产品数量等于最大需求量时所获取的总利润）排名差距很大：表7饱和利润排名与实际利润排名比较月份饱和利润饱和排名实际排名1月255000212月181500433月160000564月115000655月187000326月26780014图3利润趋势对比图因此，工厂安排生产不能盲目地按照最大需求量进行，应该根据设备实际情况、生产成本以及生产时间等多方面进行综合考虑，然后进行优化建模，进而合理科学地安排生产计划，最终使利润最大化。3)一月份产品生产的合理性从表1中，可以得知一月份没有生产VII号产品，而根据题意，生产VII号产品所需的单位设备所需台时，比生产其他产品的单位设备所需台时要耗时，因此一月份的生产计划安排合理。4)二月份产品生产的合理性从表2中，可以得知二月没有生产产品IV，根据各个月市场对7种产品最大需求量表进行分析，得出二月份对产品IV的需求为0，同时其他各种产品的销售量符合二月份各产品最大需求量要求，各种产品的库存量也符合最大库存量要求。因此二月份的生产计划安排合理。5)三月份产品生产的合理性从表3中，可以得知三月没有生产产品III和产品IV，根据各个月市场对7种产品最大需求量表进行分析，得出三月份对产品III和产品IV的需求都为0，同时其他各种产品的销售量符合三月份各产品最大需求量要求，各种产品的库存量也符合最大库存量要求。因此三月份的生产计划安排合理。6)四月份产品生产的合理性从表4中，可以得知四月没有生产产品VI，根据各个月市场对7种产品最大需求量表进行分析，得出四月份对产品VI的需求为0，同时其他各种产品的销售量符合四月份各产品最大需求量要求，各种产品的库存量也符合最大库存量要求。因此四月份的生产计划安排合理。7)五月份产品生产的合理性从表5中，可以得知五月没有生产产品I，而产品VII生产了，但是销售量却为0，根据各个月市场对7种产品最大需求量表进行分析，得出五月份对产品I和产品VII的需求为0，同时其他各种产品的销售量符合五月份各产品最大需求量要求，各种产品的库存量也符合最大库存量要求。因此五月份的生产计划安排合理。8)六月份产品生产的合理性从表6中，可以得知六月没有生产产品III，产品V和产品VII，但是都有销售量，根据表5的分析，得出五月份对产品III，产品V和产品VII的库存量都为100件，同时其他各种产品的销售量符合六月份各产品最大需求量要求，各种产品的库存量也符合最大库存量要求。因此六月份的生产计划安排符合题目要求。参考文献[1]韩中庚，数学建模竞赛——获奖论文精选与点评，北京：科学出版社，2007.5[2]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.8附录一、模型求解的Lingo代码MODEL:SETS:KIND/1..7/:;MONTH/1..6/:;EQUIPMENT/1..5/:;MK(MONTH,KIND):REQUIREMENT,PROFIT,PRODUCTION,SALES,REMAIND;EK(EQUIPMENT,KIND):TIME;EM(EQUIPMENT,MONTH):AVAILABLE;ENDS