立体几何中的向量方法求夹角

ZPZ空间“角度”问题1.异面直线所成角设直线,lm的方向向量分别为,ablamlamb若两直线所成的角为,则,lm(0)2≤≤cosabab复习引入1.两条异面直线所成的角(1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′,b′所夹的锐角或直角叫a与b所成的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线a、b的方向向量为,其夹角为,则有(4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.(0,]2,ab||cos|cos|||||abab空间三种角的向量求解方法例2090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F11304.105342所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010[题后感悟]如何用坐标法求异面直线所成的角？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；(3)利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；(4)结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角的大小为其中ABlCDlCDABl,,,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA2、二面角注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角Lnm将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量，则二面角的大小＝〈〉mn，lnm,nm,2、二面角若二面角的大小为,则l(0)cos.uvuv②法向量法lBDCA3.二面角(1)范围:(2)二面角的向量求法:①若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(如图(1))②设是二面角的两个面的法向量,则向量与的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(2))[0,]lABCDl,12,nn1n2nl1n2n(1)(2)例2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求二面角的余弦值。111CBAABC11BCABCBCD1CADBC1B1A1以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz在坐标平面yoz中1CCB设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm同法一，可求B(0,1,0))0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴nyxzCADBC1B1A1由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m二面角的大小等于〈〉CBCD1nm,∴∴cos〈〉=nm,22233nmnm即二面角的余弦值为CBCD122方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角nm,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角的例余弦值3ABCDS,1,1,,2.AABCDSAABBCADSCDSBA0如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=90S平面求面与面所成二面角例的余弦值3ABCDSxyz解：建立空直角坐系A-xyz如所示,A(0,0,0),11(1,,0),(0,,1)22CDSDC(-1,1,0),1,0),2D(0,(0,0,1)S11(0,,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3||||nnnnnn63即所求二面角得余弦值是如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角A－A1D－B的余弦值．[策略点睛][规范作答]如图所示，取BC中点O，连结AO.因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.2分取B1C1中点为O1，以O为原点，OB→，OO1→，OA→为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，3)，A(0,0，3)，B1(1,2,0).4分设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，AD→＝(－1,1，－3)，AA1→＝(0,2,0)．因为n⊥AD→，n⊥AA1→，得n·AD→＝0，n·AA1→＝0，得－x＋y－3z＝0，2y＝0，所以y＝0，x＝－3z.令z＝1，得n＝(－3，0,1)为平面A1AD的一个法向量.6分又因为AB1→＝(1,2，－3)，BD→＝(－2,1,0)，BA1→＝(－1,2，3)，所以AB1→·BD→＝－2＋2＋0＝0，AB1→·BA1→＝－1＋4－3＝0，所以AB1→⊥BD→，AB1→⊥BA1→，所以AB1⊥平面A1BD，所以AB1→是平面A1BD的一个法向量，8分所以cos〈n，AB1→〉＝n·AB1→|n|·|AB1→|＝－3－32·22＝－64，10分所以二面角A－A1D－B的余弦值为64.12分[题后感悟]如何利用法向量求二面角的大小？(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)判断出所求二面角的平面角是锐角还是钝角；(5)确定出二面角的平面角的大小．212)0,20(21ABn221213.线面角设n为平面的法向量，直线AB与平面所成的角为，向量与n所成的角为，则1AB2n而利用可求，从而再求出21nABnAB2cos3.线面角uaula设直线l的方向向量为，平面的法向量为，且直线与平面所成的角为(),则aul02≤≤sinauau2.直线与平面所成的角(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围:(3)向量求法:设直线l的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与的夹角为,则有[0,]2uaau||cos|cos|cossin||||auau或如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成角的大小．[解题过程]取BC中点O，B1C1中点O1，连结AO，OO1，则AO⊥OC，OO1⊥平面ABC，以O为坐标原点，OC、OA、OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A0，32a，0，C1a2，0，2a，所以AC1→＝a2，－32a，2a.取AB中点M，连结CM，则CM⊥AB.因为平面ABB1A1⊥平面ABC，所以CM⊥平面ABB1A1，所以CM→是平面ABB1A1的一个法向量．因为B－a2，0，0，所以M－a4，34a，0，又因为Ca2，0，0，所以CM→＝－34a，34a，0，所以cos〈AC1→，CM→〉＝AC1→·CM→|AC1→|·|CM→|＝－34a23·32a2＝－12，∴AC1与平面ABB1A1所成角为30°.ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|||||||sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6,2,6(M可得由,51NA)3,4,0(N).3,4,0(),6,2,6(NAMA由的法向量设平面),,,(zyxn00nNAnMA0340626zyzyx即在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例1：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADABABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34,1,1(n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|||||||sin|nDAnDA在长方体中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例1：1111ABCDABCD1112,MBCBM为上的一点,且1NAD点在线段上，15,AN,61AA,8,6ADAB例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。045ABC223.SABCSABCDOxyz【典例剖析】例3如图,在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450?若存在，确定点E的位置；若不存在说明理由。【典例剖析】3DBACEPxzy(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm(,,),,,30,3,(3)0,(3),PDEnxyznDPnDExzzxmxyymx设平面的法向量为则解得1,(1,3,3),xnm令得2345sin45,4(3)PAPDEm与平面所成角的大小为32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，当时，与平面所成角的大小为。解：以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，(0,0,0),(0,0,1),(3,0,0),(,1,0),APDEm设BE=m，则[题后感悟]求直线与平面所成的角的方法与步骤(1)用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤为：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量AB→；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n|·|AB→|.(2)找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是______.3、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为______.基础训练:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个法向量是______.ABAC6001350【巩固练习】1三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_________.3正方体中ABCD-