初中四边形辅助线规律

3.1一般四边形常用的辅助线1、连对角线构造三角形【例1】已知：如图（1），在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,90B.求四边形ABCD的面积。分析：由90B，AB=3,BC=4,联想到连结AC，利用勾股定理解得AC=5,又AD=12,CD=13,由勾股定理的逆定理有DAC为直角，从而ACDABCABCDSSS四边形。3651221432121219012,13254322222222ACADBCABSSSDACACDCDACADADCDBCABACABCRtACACDABCABCD四边形是直角三角形，中，，在解：连结2、延长对边构造三角形【例2】如图（2），在四边形ABCD中，,2,90,60BCDBACD=3,则AB等于多少？分析：,90,60BA如果延长AD、BC即可出现30角的直角三角形，从而把四边形问题转化为三角形只是解决。33833883,2,8,62903060,90ABxxBGxAGxABABGRtCGBCBGCDCGADCGAABCGBCAD即则中，设在又的延长线于点交解：延长例谈四边形中的辅助线13、化为三角形和特殊四边形【例3】在四边形ABCD中，AD=3,33BC,BD=7,90,120ABCBAD.如图（3），求：CD的长和AB的长。二、多边形中常用的辅助线一般地，解决多边形问题的思路是：转化为三角形和特殊四边形的问题来解决。1连对角线转化【例4】已知：如图（4），求证：360FEDCBA分析：要证此六角只和为360，想到四边形的内角和为360，故转化为一个四边形的四个内角，由图很容易想到连结BE。例谈四边形中的辅助线23601,1FBEFABEAFDEFDEBCBEABCAFDEFDCABCADEBCBEDCDEBCBEDCBE证明：连结2延长边的转化【例5】如图（5），在六边形ABCDEF中120FEDCBA。求证：AB+BC=EF+ED。分析：由题意知各角都为120，想到它的外角为60，如果延长各边，能得到等边三角形，又由求证AB+BC=EF+ED想到延长所涉及的边构成线段；当题中涉及到30,45,60,120等特殊角时，常想到把他们转化到特殊三角形中，如等边三角形、直角三角形等。三、平行四边形常用的辅助线（矩形、菱形，正方形与其相同）1、过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题【例6】如图（8），已知点P是矩形ABCD内一点，PA=3,PB=4,PC=5,求PD的长。分析：利用已知条件，可过P分别作两组对边例谈四边形中的辅助线3的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题。2、延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形【例7】已知如图（9），正方形ABCD中，E、F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点。求证：AP=AB。分析：F为AB的中点，若延长CF交BA延长线于点K，则有KAFCDF,故AK=CD=AB,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证题。3、把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线【例8】已知：如图（11），ABCD中，AN=BN,BCBE31，NE交BD于点F。求BF:BD。分析：N为AB的中点，若连结AC与BD交于点O，则ON为ABC的中位线，利用对应线段成比例，则结论可证。例谈四边形中的辅助线4515232,3:2:31,21//2,.,BDBFBOBFFOBFONBEBCBEFOBFONBEBCONBNANBDODBOOCAOABCDONOBDAC为平行四边形四边形。连结于点交解：连结4、把以一边中点为端点的线段延长，构造全等三角形【例9】如图（12），过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE。求证：AEBBCF21。分析：由BE//AC,CF//AE,AE=AC知四边形AEFC是菱形，连结BD,作BEAH垂足为H点，根据正方形的一些性质可以知道，四边形AHBO是正方形，从而AEACAOAH2121，可得15,30BCFACFEAEBBCFBCFACBACACFAEFACFECFAEACBEAEHACAEACAOAHAOBHBEBOBEAHACBEBOAOBDACABCDHBEBEAHOACBD2115,4530//,//3021,,//,是正方形的对角线是菱形，四边形为正方形四边形又中，在正方形于交，作于交证明：连结例谈四边形中的辅助线5一、新知探索例1已知，如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF与MN互相垂直平分，E、F、M、N分别为AD、BC、BD、AC的中点.求证：AB=CD.例2.如图，已知：正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠EAD.求证：AE=DF+BE.例3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC﹥AD），E、F分别是对角线BD、AC的中点.求证：EF=12（BC—AD）练习巩固：1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过顶点D作DN⊥BC，点N为垂足，求证：DN=12（AD+BC）.FEDCBANMFEDCBAFECBDANDCBA例谈四边形中的辅助线62.如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，AH⊥EF，垂足为H，求证：AH=AB.3.如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF，求证：∠FED=∠BAD.HFEDCBADFECBA