导数及其应用

导数及其应用专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数考向导航专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数历届高考考点扫描三年考情统计2015考向预测201420132012导数的几何意义Ⅰ文T21Ⅱ文T21Ⅰ文T20全国卷文T13高考对该部分内容的考查主要有三个方面：(1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义；(2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等;(3)导数的综合考查,包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．从形式上看，考查试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现.利用导数研究函数的性质Ⅰ理T21、Ⅱ理T21Ⅰ文T20、Ⅱ理T10Ⅱ理T21、Ⅱ文T12全国卷理T21全国卷文T21利用导数解决与不等式有关的问题Ⅰ理T21Ⅰ文T21Ⅰ理T21、Ⅱ理T21全国卷理T21全国卷文T21利用导数解决与方程的解有关的问题Ⅱ文T21Ⅱ理T21栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数一、活用公式结论1．导数公式及运算法则(1)基本导数公式：c′＝0(c为常数)；(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sinx)′＝cosx；(cosx)′＝－sinx；(ax)′＝axlna(a0且a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)；(lnx)′＝1x.栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2(v≠0)．2．导数与极值函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数[即时练]1．(2014·嘉兴二模)已知函数f(x)＝1xcosx，则f(π)＋f′(π2)＝()A．－3π2B．－1π2C．－3πD．－1π解析：∵f′(x)＝－1x2cosx＋1x(－sinx)，∴f(π)＋f′(π2)＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.C栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数2．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：∵f(x)＝2x＋lnx，∴f′(x)＝－2x2＋1x(x0)，由f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．D栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数二、辨明易错易混1．求曲线的切线，分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”．2．对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数[即时练]3．设直线y＝12x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b的值为()A．ln2－1B．ln2－2C．2ln2－1D．2ln2－2解析：由已知条件可得切线的斜率k＝12，y′＝(lnx)′＝1x＝12，得切点的横坐标为2，则切点坐标为(2，ln2)．由点(2，ln2)在直线y＝12x＋b上可得b＝ln2－12×2＝ln2－1.A栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数4．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值为()A．－13B．－15C．10D．15解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，因为函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，所以－12＋4a＝0，解得a＝3，所以f′(x)＝－3x2＋6x，f(x)＝－x3＋3x2－4.易知f′(n)＝－3n2＋6n，f(m)＝－m3＋3m2－4.又m，n∈[－1,1]，所以当n＝－1时，f′(n)最小，为－9.又f′(m)＝－3m2＋6m，令f′(m)＝0得m＝0或m＝2，所以当m＝0时，f(m)最小，为－4.故f(m)＋f′(n)的最小值为－9＋(－4)＝－13，故选A.A栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数考点一导数的几何意义(1)(2014·高考江西卷)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．[思路点拨](1)先求函数的导数,再利用导数的几何意义确定切点的坐标．(2)先求函数的导数,写出切线方程,最后求三角形的面积.(e，e)12log2e栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数[解析](1)令f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝lnx0＋1＝2，∴x0＝e，此时y0＝x0lnx0＝elne＝e，∴点P的坐标为(e，e)．(2)依题意得，y′＝1xln2，曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线的斜率为1ln2，该切线方程是y＝1ln2(x－1)，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(1,0)、(0，－1ln2)，因此所求的三角形的面积等于12×1×1ln2＝12log2e.栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数[方法归纳]利用导数几何意义解题的转化关系及求参思路(1)转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化．(2)求参思路：以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数1．(2014·河北保定高三调研)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC.1eD．－1e解析：y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，lnx0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－lnx0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－lnx0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1e.C栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数考点二利用导数研究函数的性质(2014·高考江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a＜0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．[思路点拨](1)先求导数，结合解不等式求解函数的单调区间．(2)通过利用单调性与导数的关系求解函数的最值，从而求解参数a.栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数[解](1)当a＝－4时，由f′(x)＝25x－2x－2x＝0得x＝25或x＝2.由f′(x)＞0得x∈0，25或x∈(2，＋∞)，故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．(2)因为f′(x)＝10x＋a2x＋a2x，a＜0，栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数由f′(x)＝0得x＝－a10或x＝－a2.当x∈0，－a10时，f(x)单调递增；当x∈－a10，－a2时，f(x)单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f(x)单调递增，易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f－a2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a＜0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数②当1＜－a2≤4，即－8≤a＜－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f－a2＝0，不符合题意．③当－a2＞4，即a＜－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上有a＝－10.栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数2．本例条件不变,若f(x)在区间[1,4]上单调递减,试求a的范围.解：由本例(2)知f′(x)＝20x2＋12ax＋a22x，若f(x)在[1,4]上单调递减，则f′(x)≤0，即20x2＋12ax＋a2≤0，∴20＋12a＋a2≤0320＋48a＋a2≤0，解得－10≤a≤－8.∴a的范围为[－10，－8]．栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数[方法归纳](1)由函数f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到，应加以检验．(2)求极值和最值时，为了直观易懂，常常列出x的取值范围与y′的符号及y的单调区间、极值的对应表格．(3)本例中函数解析式含有参数，求最值时，利用分类讨论思想，分类的原则是极值点在给定区间的内部还是外部，再利用单调性求出最值．栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数3．(2014·云南省第一次统考)已知f(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)．(1)假设m＝－2，求f(x)的极大值与极小值；(2)是否存在实数m，使f(x)在[－2，－1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：(1)当m＝－2时，f(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)的定义域为(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝ex(x3－2x2－2x＋2)＋ex(3x2－4x－2)＝xex(x2＋x－6)＝(x＋3)x(x－2)ex，∴当x∈(－∞，－3)或x∈(0,2)时，f′(x)0；当x∈(－3,0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数f′(－3)＝f′(0)＝f′(2)＝0，∴f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x＝－3或x＝2时，f(x)取得极小值；当x＝0时，f(x)取得极大值，∴f(x)极小值＝f(－3)＝－37e－3，f(x)极小值＝f(2)＝－2e2，f(x)极大值＝f(0)＝2.(2)f′(x)＝ex(x3＋mx2－2x＋2)＋ex(3x2＋2mx－2)＝xex[x2＋(m＋3)x＋2m－2]．∵f(x)在[－2，－1]上单调递增，栏目导引要点整合夯基释疑导学导练核心突破即时巩固知能训练专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数∴当x∈[－2，－1]时，