2018年陕西省数学竞赛试题及解答

2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第1页共8页（陕西横山中学刘克忠整理）2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题6分，共8小题，共48分）1.已知集合，，则(23)sin,6mMxxmZcos,3nNxxnZ的关系是,MNA.B.C.D.MNMNMNMN解析：B.对于集合，,,周期为,列M(23)sinsin()cos()6323mxmmmZ6表如下：m012345x1121211212对于集合,,,周期为,列表如下Ncos()3xnnZ6n012345x1121211212所以.MN2.已知,,,则的大小关系是8log5a4log3b23c,,abcA.B.C.D.abcbcabaccba解析：C.,,8222121log5log5log5log25366a4222131log3log3log3log27266b.因为,,2222241log2log2log163366c272516222log27log25log16所以，.bac3.已知数列满足,,，若表示不超过的最大na11a11nnananN[]xx整数,则122018111[]aaaA.B.C.D.12320182018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第2页共8页（陕西横山中学刘克忠整理）解析：A.，.由,,，,11nnana11nnaan11a212aa313aa,1nnaan采用累加法得，，.于是，(1)2nnna12112()(1)1nannnn,,,1211112(1)1nnTaaan2018122(1)220192019T201812T.2018[]1T4.已知四面体内接于球，且是球直径，若和都是边长为ABCDADABCBCD的等边三角形，则四面体的体积为1ABCDA.B.C.D.2621236312解析：B.是球直径，,,和都是边长为的等边三AD2ABD2ACDABCBCD1角形，,球的半径，设球心为，则2AD22RO平面,,.ADBOC14BOCS11223412ABCDV5.若，且，则的值是02x44sincos19413xxtanxA.B.C.D.1223132解析：D.因为，所以，，，.由柯西不等式得02xsin0xcos0xtan0x，即,又222222222sincos(32)[()()](sincos)132xxxx44sincos19413xx，取等号的条件知：，.44sincos19413xx22sincos94xx3tan2x6.设，且，则的最小值为,xyR44log(2)log(2)1xyxyxyDABCO2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第3页共8页（陕西横山中学刘克忠整理）A.B.C.D.32234解析：A.法一：,得,且,44log(2)log(2)1xyxy(2)(2)4xyxy20xy.即，且,，双曲线的右支.根据双曲线20xy2214xy20xy20xy的对称性及，不妨令，且,则,要使取的最小xy0yxybyxbxy值，只需直线在轴上的截距最大，当且仅当直线与双曲线yxbyyxb相切.,消去得关于的方程：2214xy2214yxbxyyx,,.2238(44)0xbxb03b法二：也可用参数方程求解.只考虑第一象限部分.由，令,2214xy2secx,,则,tany(0,)22sin2sectancosxyxy2sincost表示点动点（）与定点2sinsin2coscos0t(cos,sin)M(0,)2(0,2)N的连线的斜率的相反数，当且仅当,取得最小值为，即,6t343x时，取得最小值为.13yxy37.若既约分数（）化为小数是,则当最小时，pq,pqN0.18qpA.B.C.D.9752解析：D.由题意可得,即,取倒数，,的下0.180.19pq1819100100pq1001001918pqpqxyoyxbM2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第4页共8页（陕西横山中学刘克忠整理）界单调递增，当时，,，不存在满足条件100()19fpp1p1005.26191005.5618的；当时，,，满足条件.因此，取q2p100210.5219100211.111811qq得最小值为时，.112p8.在边长为的正方形中，是的中点，是边上的一点，且8ABCDMBCNAD，若对于常数.在正方形的边上恰有个不同的点，使3DNNAmABCD6P，则实数的取值范围PMPNmmA.B.(8,8)(1,24)C.D.(1,8)(0,8)解析：C.建立如图所示的直角坐标系,,是的中点,,又是边上(0,0)AMBC(8,4)MNAD的一点，且，,设，则,3DNNA(0,2)N(,)PxyPM(8,4)xy(,2)PNxy，,22868PMPNxxyy22(4)(3)17xym22(4)(3)xy,所以，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.因此，当圆17mP(4,3)17m与正方形恰有个不同的点，,解得.64175m18m二、填空题：（每题分，共小题，共分）84329.设的内角的对边分别为，且，构成等差数ABC,,ABC,,abcAC2,,abc列，则.cosB解析：.34因为构成等差数列，所以,根据正弦定理可得，,,abc2bac2sinBsinA,,,,sinCAC2()22BACC2sin(2)sin()22CCsinC,,,平方得2cos2cossinCCC222(cossin)cossinCCCC1cossin2CC,所以，.3sin24C3coscos(2)sin224BCC10.如图，已知抛物线的焦点为,准线为，22(0)ypxpFlxyABCDMNxyABAFBo2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第5页共8页（陕西横山中学刘克忠整理）过点的直线与抛物线交于两点，且.设点F,AB3ABp,AB在上的射影为，今向四边形内任投一点，则l,ABAABBM点落在内的概率.MFAB解析：.13根据抛物线的定义,,11()22AABBSAABBABABAB梯形132ABp,所求概率为：.12ABFSABp1121332ABFAABBABpSSABp梯形11.已知函数，若存在，使得1()1fxxx121,,,[,4]4nxxx12()()fxfx，则正整数的最大值是.1()()nnfxfxn解析：.6n函数在区间上的最大值为,最小值为1()1fxxx1[,4]411()(4)1544ff,要使正整数最大，需最大,且（）尽可能(1)3fn()nfx()ifx1,2,3,,1in的小，只要即可，,此时，.()()32mnfxfx1115663446n12.设是正整数，当时，的小数部分的前两位数是.n100n231nn解析：.49取,,，101n2101310111050510505102.493902取,,.102n2102310211071110711103.493961第二试一、（本小题满分分）20已知函数,.()2cos(cos3sin)1fxxxxxR（Ⅰ）求函数的单调递增区间；()fx（Ⅱ）设点，，,都在函数的图像上，且111(,)Pxy222(,)Pxy(,)nnnPxy()yfx满足，.求的值.16x12nnxx122018yyy2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第6页共8页（陕西横山中学刘克忠整理）解析：()2cos(cos3sin)1fxxxx22cos123cossinxxx.2sin(2)6x（Ⅰ）令，得,,函数的周期262x13x212326xx()fx为,所以，函数在每一个区间（）都是单调递T()fx[,]36kkkZ增的；（Ⅱ）由知，数列构成等差数列，首项，公差,12nnxxnx16x2d,于是,23nxn262nxn()2sin(2)2sin()62nnnyfxxn,周期，,,,2cos()n2T12y22y13520172yyyy,所以.24620182yyyy1220180yyy二、（本小题满分分）20如图，圆与轴相切于，与轴的正半轴相交于两点，（在的Cx(2,0)Ty,ABAB上方），且.3AB（Ⅰ）求圆的方程；C（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，求证：射线平Bl22184xy,PQAB分.PAQ解析：（Ⅰ）根据题意可设圆心的坐标为,（）C(2,)b0b又，由垂径定理得，，,3AB22232()2b52b所求圆的方程为：.C22525(2)()24xy（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的方程，令,得,,C22525(2)()24xy0x11y24y所以，,,且直线的斜率存在，设直线的方程为：.(0,4)A(0,1)BPQPQ1ykx消去得：,221184ykxxyy22(21)460kxkx22(4)24(21)kkxyABQTPo2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第7页共8页（陕西横山中学刘克忠整理）26424k设,,,.11(,)Pxy22(,)Qxy122421kxxk122621xxk.121212124433APAQyykxkxkkxxxx12123()122206xxkkkxx射线平分.ABPAQ三、（本小题满分分）20如图，在锐角中，是的中点，圆过点且与直线相切于点，ABCMBCOABCC直线与圆交于另一点，直线与圆交于另一点，证明：AMODBDOEEACBAC证明：在中，是圆的切线，直线是圆的MACMCMDA割线，由圆的切割线定理可得，,2MCMDMA又为的中点，，所以.DBCBMMC2BMMDMA中，,所以，,,BMABMDAMBBMDAMBABMBDM,于是，.BDMADEACEABMACE在与中，,,所以，.ABCACEACBAECABCACEEACBAC四、（本小题满分分）30已知函数,,.()lnxfxx()(1)gxkxkR（Ⅰ）证明：对任意，直线都不可能是的切线；kR()ygx()yfx（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围.2[,]xee1()()2fxgxk解析：（Ⅰ）函数的定义域为：，.()fx(0,1)(1,)2ln1()(ln)xfxx假设存在使得是在处的切0(0,1)(1,)x()(1)gxkx()lnxfxx00(,())xfx线.一方面，,切线方程为：0020ln1()(ln)xkfxx000200ln1()(ln)lnxxyxxxx020ln1(ln