阿氏圆(2018中考数学压轴热点)

1DCBOAPCBAPxyBOAP阿氏圆模型专题训练阿氏圆(阿波罗尼斯圆)：已知平面上两定点A、B，则所有满足PA/PB=k(k不等于1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。在初中的题目中往往利用逆向思维构造斜A型相似(也叫母子型相似或美人鱼相似)+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。观察下面的图形，当P在在圆上运动时，PA、PB的长在不断的发生变化，但它们的比值却始终保持不变。解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。如图，在△ABC的边AC上找一点D，使得AD/AB=AB/AC，则此时△ABD∽△ACB。母子型相似（共角共边）DACB那么如何应用阿氏圆的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?我们来看一道基本题目:已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.(1)求12APBP的最小值为(2)求13APBP的最小值为实战练习：1、已知⊙O半径为1，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为弧AB上一动点，试求22PCPD的最小值2、已知点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的⊙O上运动，试求12APBP的最小值2yxOCBAP3、已知点A(-3,0)，B（0,3），C（1,0），若点P为⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，（1）14APBP的最小值;（2）PABS的最小值.4、如图1，在平面直角坐标系xoy中，半⊙O交x轴与点A、B(2,0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD=2，BC=7.(1)求OD的长；（2）如图2，若点P是半⊙O上的动点，Q为OD的中点.连接PO、PQ.①求证：△OPQ∽△ODP;②是否存在点P，使2PDPC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.5、（1）如图1，已知正方形ABC的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值.(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么23PDPC的最小值为；23PDPC的最大值为（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2.点P是圆B上的一个动点.那么12PDPC的最小值为；12PDPC的最大值为巩固练习：31、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，12APBP最小值为（）A、37B、6C、217D、4CBAP2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则22PAPC的最小值是．CBAP3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则32PBPD的最小值为．CDAPEB4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是．yx45、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求23PDPC的最小值和23PDPC的最大值．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值．DACDACDABBBPPPC图1图2图3套路总结阿氏圆基本解法：构造相似阿氏圆一般解题步骤：PCkPD第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPmOD；第四步：在OD上取点M，使得OMmOP；第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．51．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，AP+BP的最小值为（）2．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．