千锤百炼-高考数学100个热点问题——第41炼-指对数比较大小

-1-第41炼指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为0,1和1,（1）如果底数和真数均在0,1中，或者均在1,中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在0,1中，一个在1,中，那么对数的值为负数例如：30.52log0.50,log0.30,log30等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同11111143634212121233,44,55，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log3，可知2221log2log3log42，进而可估计2log3是一个1点几的数，从而便于比较4、常用的指对数变换公式：（1）nmmnaa（2）logloglogaaaMNMNlogloglogaaaMMNN（3）loglog0,1,0naaNnNaaN（4）换底公式：logloglogcacbba进而有两个推论：1loglogabba（令cb）loglogmnaanNNm-2-二、典型例题：例1：设323log,log3,log2abc，则,,abc的大小关系是______________思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b1,0c1a，从而a肯定最大，只需比较,bc即可，观察到,bc有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：223311log3log3,log2log222bc，从而可比较出32log21log3，所以cb答案：cba例2：设123log2,ln2,5abc，则,,abc的大小关系是___________思路：观察发现,,abc均在0,1内，,ab的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：ab，在比较和c的大小，由于c是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,abc值得大小：121115254c，可考虑以12为中间量，则331log2log32a，进而12ac，所以大小顺序为bac答案：bac例3：设ln2ln3ln5,,,235abc则,,abc的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca思路：观察到,,abc都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。111352ln2ln3ln5ln2,ln3,ln5,235abc发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：1111111510635230303022,33,55，通过比较底数的大小可得：bac答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。例如可以先比较,:ab11113232662=2,3=3，从而ab，同理再比较,ac或,bc即可例4：设6log3a，10log5b，14log7c，则（）A.abcB.bcaC.acbD.abc思路：观察可发现：335577log321log2,log521log2,log721log2abc357log2log2log2，所以可得：abc-3-答案：D例5：设232555322,,,555abc则,,abc的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.bca思路：观察可发现,bc的底数相同，,ac的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于,bc，两者底数在0,1，则指数越大，指数幂越小，所以可得bc，再比较,ac，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以ac，综上：acb答案：B例6：已知三个数0.5333,log2,cos2abc，则它们之间的大小关系是（）A.cbaB.cabC.abcD.bca思路：可先进行0,1分组，0.531a，0,1bc，所以只需比较,bc大小，两者都介于0,1之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以3cos2作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。331coscos23232，而331log2log32，从而12cb，大小顺序为cba答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c作为研究对象。例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设1.13.13log7,2,0.8abc，则（）A.bacB.acbC.cbaD.cab思路：首先进行0,1分组，可得1,cab，下面比较,ab的大小，可以考虑以2作为中间量，1.13322,log7log92ba，所以2ab，从而cab答案：D例8：设0,1abab且1111,log,logbbabxyabzaa，则,,xyz的大小关系是（）A.yxzB.zyxC.yzxD.xyz思路：由0,1abab可得：1012ba，先用0,1将,,xyz分堆，0x，,0yz，则x为最大，只需要比较,yz即可，由于,yz的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。111logloglog1ababababyababab，而1loglogbbzaa，因为01b，所以loglog1,log1bbbabzay，所以顺序为yzx答案：C-4-例9：下列四个数：2ln2,lnln2,ln2,ln2abcd的大小顺序为________思路：观察发现lnln20b，其余均为正。所以只需比较,,acd，考虑ln20,1，所以ad，而1ln2ln22cd，所以下一步比较,ac：211ln2ln2ln2ln2ln2ln2ln022ace，所以ac，综上所述，大小顺序为bcad答案：bcad例10：已知,,abc均为正数，且11222112log,log,log22bcaabc，则（）A.abcB.cbaC.cabD.bac思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断,,abc的范围。首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：11222log,log,logabc均大于0，由对数的符号特点可得：,0,1,1abc，只需比较,ab大小即可。观察到1212ba，从而1122loglogabab，所以顺序为abc答案：A小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12logyx的形式，而第三个等式也可变形为2121loglog2ccc，从而可以考虑视,,abc分别为两个函数的交点。先作出12logyx图像，再在这个坐标系中作出112,,22xxxyyy，比较交点的位置即可。