理论力学(金尚年)5-8章答案

Chapter55.3在以圆心为坐标原点的圆环参照系看来r′Rcos2ti′−Rsin2tj′v′−2Rsin2ti′2Rcos2tj′以C点为坐标原点的惯性系中圆心的坐标和速度为rcRcostiRsintjvc−RsintiRcostj又i′costisintjj′−sinticostj则质点位置在惯性系看来为rrcr′2Rcosti其速度和加速度为vdrdt−2Rsintia−22Rcosti5.6在初始条件下，质点受力为F0−2032mdiFt83m2diFc83m2diF−43m2di由于此时受力垂直于运动方向，此时质点相当于以速度43d相对于距O点C处rc43di做圆周运动。假设之后质点一直以该点为圆心做匀速圆周运动，在任意时刻，质点位于r处，则质点受力为F0−4m2r−rAFtm2rFc83md2r−rc|r−rc|F0Ft−m23r−4di−3m2r−rc注意到|r−rc|43d则F−43m2dr−rc|r−rc|因此此时体系依然满足匀速圆周运动条件。在非惯性系中r43di43der′1icostIsintJj−sintIcostJer′costisintjcostcost−sintsintIcostsintsintcostJcos2tIsin2tJr43dcostcos2tIsintsin2tJ5.9圆环以加速度a向上运动，等效为重力加速度改变为g′ga在非惯性系中考虑等效的能量守恒定律，有mg′rcos−cos012mv2−v02因此在非惯性系中看到质点以速度v绕圆环运动vv022g′rcos−cos0则有F−mg′cosmv2r5.13以金属丝所在参照系中看到的坐标和速度为变量，体系的拉各朗日函数为L12mv′2mv′r′12mr′2−V12mv′212m2r′2cos2−mgy12mẋ2ẏ212m2x2−mgy12mẋ2x2ẋ24a212m2x2−mgx24a则运动方程为ddt∂L∂ẋ−∂L∂xmẍmx2ẍ4a2mxẋ22a2−mxẋ24a2−m2xmgx2am1x24a2ẍx4a2ẋ2g2a−2x05.14选取Oxy平面为参照系，选取x轴为水平方向，则非此惯性系相对于惯性系的角速度为cosksinj则牵连惯性力为Ft−r−cosksinjcosksinjxiyj−cosksinjxcosj−cosyi−xsink−2−xcos2i−ycos2jysincosk−xsin2i2xiycos2j−ysincosk科利奥力力为2Fc−2v−2cosksinjẋiẏj−2ẋcosj−ẏcosi−ẋsink考虑k方向被约束，则运动方程为mẍ−2ẏcosk2−2x0mÿ2ẋcosk2−2cos2y0定义xiy简单分析：当k2−20时，k2−2x和k2−2cos2y都提供弹性力，体系做振动当k2−20，k2−2cos20时，k2−2x提供反弹性力和k2−2cos2y提供弹性力，体系一边振动，一边远离原点。当k2−2cos2《0时，k2−2x和k2−2cos2y提供反弹性力质点将单调远离原点。Chapter66.1体系势能为V−mgrcos12kr−l2平衡位置由下面方程确定∂V∂0→00∂V∂r|0−mgkr0−l0r0lmgk令xr−r0则保留到二阶小量，体系拉各朗日函数为L12mṙ2r2̇2mgrcos−mglmgk−12mkr−l2≈12mẋ2lmgk2̇2−12mglmgk2−12kẋ2相应的a11m,a22ml2b11−k,b22mglmgk本征方程为k−m2mglmgk−mlmgk220解此方程可得31km2glmgk因此rlmgkAcos1t1Bcos2t2其中A,B,1,2由初始条件确定。6.5体系的动能为T12ml2̇1212ml2̇22保留到二阶小量，体系的势能为V−mglcos1−mglcos212klsin1−lsin2d2lcos1−lcos22−d≈12mgl122212kl2122221212mglkl21222kl212本征方程为mglkl2−ml22kl2kl2mglkl2−ml220本征频率为2glkmkm6.11体系的动能为T12MR2̇1212I̇2212mR̇1cos1r̇2cos22R̇1sin1r̇2sin22保留到二阶小量T12MR2̇1212I̇2212mR2̇12r2̇222Rr̇1̇2126.75̇120.5̇221.5̇1̇2势能为VMgR−MgRcos1mRr−mgRcos1rcos2保留到二阶小量V12MgR12mgR12r2212MmgR12mgr22124512522则本征方程为45−6.752−0.752−0.7525−0.520解之可得本征频率。6.13由于无外力，质心位置不变，在x方向上有4mAx1mBx2mCx30x方向上运动相应的动能和势能为T12mAẋ1212mBẋ2212mCẋ3212mAẋ1212mBẋ2212mCmA2ẋ122mAmBẋ1ẋ2mB2ẋ22V12k1x1−x2212k2x2−x3212k1x1−x2212k2x2mAx1mBx2mc2k1k2mA2mc2−mAmA2mc2−k1k2mAmcmBmc2−mAmBmc2−k1k2mAmcmBmc2−mAmBmc2k1k2mcmB2mc2−mBmB2mc20即:4−k11mA1mBk21mB1mc2k1k2mAmBmcmAmBmc0y方向上质心不动满足mAy1mBy2mCy30总角动量为零满足mAl1iy1jmB−l2iy3jmAl1y1−mBl2y3k0最后得：y3mAl1mBl2y1y2−mAmB1mCl1mBl2y1定义11l1y1−y21l11mAmB1mCl1mBl2y121l2y2−y31l2−mAmB1mCl1mBl2−mAl1mBl2y1则y方向上运动相应的动能势能为T12mAẏ1212mBẏ2212mCẏ3212mAmA2mB1mCl1mBl22mcmA2l12mB2l22ẏ1212mAmB3l22mA2mBl2mcl12mcmBmA2l12mB3l22ẏ125V12k1l12y1−y2212k2l22y2−y3212k1l121mAmB1mCl1mBl22y1212k2l22−mAmB1mCl1mBl2−mAl1mBl22y1212k1l12mB2l2mAmBl2mCl1mB2l22y1212k2l22mA2mB2mBl2mCl1mBl1mBl22y126.14由拉各朗日函数可知a11a221b11b2202,b12b21−a则本征方程为02−2−a−a02−202−22−a20解之得本征频率02−2a02aChapter77.1在相隔d两点间绳子的压力为FNFd则此处的最大静摩擦力为fFd此两点间拉力的关系为F→FdFFFd即dFFd解之得lnF−lnF0即：FF0e7.6电阻、电容和电感与电压的关系为iccdudtLdiLdtuiRuR则6didtcdicdtdiLdtdiRdtcd2udt21RdudtuL如果把u当作坐标，c当作质量，则1Rdudt项为线性阻尼，uL只是u的函数，为外力，didt为另一外力，但是此力非保守。由此可得Qdidt,T12cu̇2Vu22L,G12Ru̇27.8体系的动能势能为T12mẋ12ẋ22V12kx12x2−x12x22无阻力时运动方程为：mẍ1k2x1−x20mẍ2k2x2−x10有阻尼时为mẍ1k2x1−x2−cẋ1mẍ2k2x2−x1−cẋ2令q1x1x2q2x1−x2则有mq̈1cq̇1kq10mq̈2cq̇23kq20由此可得振动频率为1km−c2m23km−c2m7.10以杆为参照系，则科利奥力力为Fc2mẋ此力垂直与质点运动方向，因此为质点对杆的正压力，因此运动方程为mẍm2x−2mẋ其中m2x为牵连惯性力ẍ2ẋ−2x0令xet则22−20解之得7−21则xAe21−tBe−21−t由初始条件决定A和B的值x0ABdẋ0A21−B−21−0Chapter88.2复摆的动能为T12I̇2相对于转动中心的转动惯量为IIcml2其中l为复摆质心相对于转动中心的距离，势能为V−mglcos体系的拉各朗日函数为L12I̇2mglcos相对于的广义动量为p∂L∂̇I̇由于体系为保守体系，所以哈密顿函数为HTVp22I−mglcos哈密顿方程为̇∂H∂ppIṗ−∂H∂−mglsin8.3体系的拉各朗日函数为L12mẏ2−mgy相应的广义动量为p∂L∂ẏmẏ则哈密顿函数为Hpẏ−Lp22mmgy广义力|Qy|kẏ2km2p2哈密顿方程8ẏ∂H∂ppmṗ−∂H∂y|Qy|−mgkm2p28.5两点间距离的微分为：dsRd2sin2d2R1sin2dd2d积分得sabR1sin2dd2d令fR1sin2dd2则短程线满足dd∂f∂dd0即sin2dd1sin2dd2C1整理得ddC1sinsin2−C12letC1sinddsinsinsin2−sin2积分得sindsinsin2−sin2letcotu,du−dsin2,1sin21u2−tandu1−u2tan2arccosutan则costancot展开，并乘以半径得xcos−ysin−ztan0此方程为过原点的平面，而短程线为此平面与球面的交线，即大圆。8.68.8体系哈密顿函数为9Hp22mmgy由于母函数为F1−mgg63y则正则变换