3.3.1--几何概型(两课时)

课本练习学案为什么要学习几何概型?引例早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.借助于古典概率的定义，设想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全体”的方法，来规定事件的概率.不过现在的“部分”和“全体”所包含的样本点是无限的.用什么数学方法才能构造出这样的数学模型？显然用几何的方法是容易达到的.•问题:图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?情景引入1235•事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）练习取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？分析计算过程和结果：记“剪得两段绳子都不小于1m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3,于是事件A发生的概率P(A)=1/3.解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得即“等待的时间不超过10分钟”的概率为60501(),606PA例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.16举例（一）与长度有关的几何概型思考:若整点或半点就会报时,则这个问题的答案是什么?答:1/35:,(,),aaa解可以认为此人在任一时刻到站是等可能的.设上一班车离站时刻为则该人到站的时刻的一切可能为35().GPA的长度的长度例2.某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站,求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率.(假定车到来后每人都能上)25(,)Gaa若在该车站等车时间少于3分钟,则到站的时刻为练习:1.两根相距6米的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2米的概率为.2.在一万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油,假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是.131250122122223.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点D,则AD的长小于AC的长的概率为（）B.C.D.CA．练习（一）与长度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型（三）与面积有关的几何概型（四）几何概型的应用——随机模拟1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.练习练习：课本：P1401,21.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：（1）豆子落在红色区域；（2）豆子落在黄色区域；（3）豆子落在绿色区域；（4）豆子落在红色或绿色区域；（5）豆子落在黄色或绿色区域.练习：课本：P142A组1,2，3练习1.如图边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.(1)若在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域的概率是2/3,则阴影区域的面积为.(2)若将100颗豆子随机撒入正方形中,恰有60颗豆子落入阴影区域内,这时阴影区域的面积为.2.在棱长为4的正方体内任意取一个点,这个点到各面距离大于1/4棱长的概率为.练习:8312518举例（五）与体积有关的几何概型（五）与体积有关的几何概型（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用例3：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?（六）几何概型的应用解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件.根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸,即时间A发生,所以22230602()87.5%.60PA例3.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是早上7:00~8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？111712228解：设送报人到达时间为x,父亲离开的时间为y,(x,y)可以看成平面中的点,试验结果所构成的区域:Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}面积SΩ=12=1事件A所构成的区域:A={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8,x≤y}面积SA=由几何概型求概率公式,得P(A)=78ASS答:你父亲在离开家前能得到报纸的概率是78变式：甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。解：设甲到达的时间为x，乙到达的时间为y，(x,y)可以看成平面中的点,试验结果所构成的区域:Ω={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24},面积SΩ=242.A={至少一艘船在停泊时必须等待}则A构成的区域:A={(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24,|y-x|≤6}.所以，只要点(x,y)落在图中的阴影部分，即表示至少有一艘船必须等待，xy024246622121897211241616()PA答：至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为7/16。例4.甲,乙两人约定在7时到8时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人20分钟,过时即可离去,求两人会面的概率.例题讲解解：设甲到达的时间为x，乙到达的时间为y，(x,y)可以看成平面中的点,试验结果所构成的区域:Ω={(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60},面积SΩ=602.设A={两人会面},则A构成的区域:A={(x,y)|0≤x≤60,0≤y≤60,|y-x|≤20}.所以，只要点(x,y)落在图中的阴影部分，即表示两人能够会面.xy06060202022216024052609()PA答：两人会面的概率为5/9。225200302..[,],[,]xxaxbab例设关于的一元二次方程若是从区间中任取一个数是从区间中任取一个数,求上述方程有实根的概率.220,020.abxaxbab当时,方程有实根当且仅当≥()|0302abab≤≤≤≤，，试验的全部结果所构成的区域为A222:0.Axaxb设事件为方程有实根解构成事件A的区域为()|0302ababab，，，≤≤≤≤≥所以所求的概率2132222().323PA•对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.（六）几何概型的应用•甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去,求两人能会面的概率.思考（六）几何概型的应用练习：课本：P142B组1,2•1.几何概型的特点.•2.几何概型的概率公式.•3.公式的运用.()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）小结