抛物线性质归纳、证明和应用

第1页抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例．一、焦半径、焦点弦性质如图，AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AD、BC是准线的垂线，垂足分别为D、C，M是CD的中点，N是AB的中点．设点A(x1，y1)、点B(x2，y2)，直线AB交y轴于点K(0，y3)，则：⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝p24；③1y1＋1y2＝1y3；④|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2（为AB的倾斜角）；⑤S△OAB＝p22sin，S梯形ABCD＝2p2sin3..⑵1|AF|＋1|BF|＝2p；⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；⑷AM、BM是抛物线的切线；⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线；⑹AM、DF、y轴三线共点，BM、CF、y轴三线共点；⑺A、O、C三点共线，B、O、D三点共线；⑻若|AF|：|BF|＝m：n，点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则cos＝m－nm＋n；⑼以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切.⑽MN交抛物线于点Q，则，Q是MN的中点.K(0，y3)CMDB(x2，y2)ROF(p2，0)A(x1，y1)xyHGx＝－p2NQ第2页★⑴①y1y2＝－p2；②x1x2＝p24；③1y1＋1y2＝1y3④|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2（为AB的倾斜角）；⑤S△OAB＝p22sin，S梯形ABCD＝2p2sin3.【证明】设过焦点F(p2，0)的AB的直线方程为x＝my＋p2，代入抛物线方程y2＝2px得y2－2pmy－p2＝0，因此①y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm.另由⑶得在Rt△CFD中，FR⊥CD，有|RF|2＝|DR|·|RC|，而|DR|＝|y1|，|RC|＝|y2|，|RF|＝p，且y1y2＜0∴y1y2＝－p2.②又点A、B在抛物线上，有x1＝y212p，x2＝y222p，因此x1x2＝y212p·y222p＝(y1y2)24p2＝p24.③1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝2pm－p2＝－2mp，在直线AB方程x＝my＋p2中令x＝0，得y3＝－p2m，代入上式得1y1＋1y2＝1y3④【证法一】根据抛物线的定义，|AF|＝|AD|＝x1＋p2，|BF|＝|BC|＝x2＋p2，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p又|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋m2|y2－y1|＝1＋m2(y1＋y2)2－4y1y2＝1＋m24m2p2＋4p2＝2p(1＋m2)当m≠0时，m＝1k＝1tan＝cossin，有1＋m2＝1＋cos2sin2＝1sin2（k为直线AB的斜率）当m＝0时，＝90，1＋m2＝1也满足1＋m2＝1sin2∴|AB|＝2p(1＋m2)＝2psin2.【证法二】如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF|cos，∴|AF|＝|RF|1－cos＝p1－cos同理，|BF|＝|RF|1＋cos＝p1＋cos∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝p1－cos＋p1＋cos＝2psin2.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOA1B1F图2CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(p2，0)图1第3页【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为＝p1－cos，则|AF|＝1＝p1－cos，|BF|＝2＝p1－cos(＋)＝p1＋cos.∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝p1－cos＋p1＋cos＝2psin2.⑤S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝12|OF||y1|＋12|OF||y1|＝12·p2·(|y1|＋|y1|)∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|∴S△OAB＝p4|y1－y2|＝p4(y1＋y2)2－4y1y2＝p44m2p2＋4p2＝p221＋m2＝p22sin.又∵|CD|＝|AB|sin＝2psin，|AD|＋|BC|＝|AB|＝2psin2.∴S梯形ABCD＝12(|AD|＋|BC|)·|CD|＝12×2psin×2psin2＝p2sin3.【例1】（2001年新课程高考文）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→·OB→＝····················································································（）A.34B.－34C.3D.－3【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝p24－p2＝－34，故选B.【例2】（2009年福建理）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝.【解】由性质⑴得|AB|＝2psin2＝2psin245＝8，∴p＝8×122＝4.★⑵1|AF|＋1|BF|＝2p【证法一】由⑴x1x2＝p24，且|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2.∴1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋p(x1＋p2)·(x2＋p2)＝x1＋x2＋px1x2＋p2(x1＋x2)＋p24＝x1＋x2＋pp24＋p2(x1＋x2)＋p24＝x1＋x2＋pp2(x1＋x2＋p)＝2p【证法二】由|AF|＝1＝p1－cos，|BF|＝2＝p1－cos(＋)＝p1＋cos.∴1|AF|＋1|BF|＝11＋12＝1－cosp＋1＋cosp＝2p【例3】（2000全国）过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与第4页FQ的长分别是p、q，则1p＋1q等于·····························································（）A.2aB.12aC.4aD.4a【解】由y＝ax2得x2＝1ay，（抛物线焦点到准线的距离为12a），由此得1p＋1q＝4a，故选C.★⑶∠AMB＝∠DFC＝Rt∠，先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则△ADM≌△ECM，∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|＝|BF|＋|AF|＝|AB|∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【证法二】取AB的中点N，连结MN，则|MN|＝12(|AD|＋|BC|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|，∴|MN|＝|AN|＝|BN|∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.【证法三】由已知得C(－p2，y2)、D(－p2，y1)，由此得M(－p2，y1＋y22).∴kAM＝y1－y1＋y22x1＋p2＝y1－y22·y212p＋p＝p(y1－y2)y21＋p2＝p(y1－－p2y1)y21＋p2＝py1，同理kBM＝py2∴kAM·kBM＝py1·py2＝p2y1y2＝p2－p2＝－1∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.【证法四】由已知得C(－p2，y2)、D(－p2，y1)，由此得M(－p2，y1＋y22).∴MA→＝(x1＋p2，y1－y22)，MB→＝(x3＋p2，y2－y12)∴MA→·MB→＝(x1＋p2)(x2＋p2)＋(y1－y2)(y2－y1)4＝x1x2＋p2(x1＋x2)＋p24－(y1－y2)24＝p24＋p2(y212p＋y222p)＋p24－y21＋y22－2y1y24＝p22＋y1y22＝p22＋－p22＝0∴MA→⊥MB→，故∠AMB＝Rt∠.【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结FM，则FM＝DM.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3CDBRAxyOF图41234M第5页又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4∴∠2＋∠3＝12×180＝90∴∠AMB＝Rt∠.接着证明：∠DFC＝Rt∠【证法一】如图5，由于|AD|＝|AF|，AD∥RF，故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝，同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝，而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠DFC＝90【证法二】取CD的中点M，即M(－p2，y1＋y22)由前知kAM＝py1，kCF＝－y2＋p2＋p2＝－y2p＝py1∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF∴∠DFC＝∠AMB＝90.【证法三】∵DF→＝(p，－y1)，CF→＝(p，－y2)，∴DF→·CF→＝p2＋y1y2＝0∴DF→⊥CF→，故∠DFC＝90.【证法四】由于|RF|2＝p2＝－y1y2＝|DR|·|RC|，即|DR||RF|＝|RF||RC|，且∠DRF＝∠FRC＝90∴△DRF∽△FRC∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90∴∠DFR＋∠RFC＝90∴∠DFC＝90【例4】（2009年湖北文）如图7，过抛物线y2＝2px（P＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1，求证：FM1⊥FN1★⑷AM、BM是抛物线的切线图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(p2，0)CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1N1NMxyOF图7M1lCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图8D1第6页【证法一】∵kAM＝py1，AM的直线方程为y－y1＝py1(x－y212p)与抛物线方程y2＝2px联立消去x得y－y1＝py1(y22p－y212p)，整理得y2－2y1y＋y21＝0可见△＝(2y1)2－4y21＝0，故直线AM与抛物线y2＝2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，(y2)x＝(2px)x，得2y·yx＝2p，yx＝py，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切＝yx|y＝y1＝py1.又kAM＝py1，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－p2，y1＋y22)代入左边＝y1·y1＋y22＝y21＋y1y22＝2px1－p22＝px1－p22，右边＝p(－p2＋x1)＝－p22＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.★⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE，∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即＝2.且M(－p2，y1＋y22)∵tan＝kAB＝y2－y1x2－x1＝y2－y1y222p－y212p＝2py1＋y2.tan＝kAM＝y1－y1＋y22x1＋p2＝y1－y22·y212p＋p＝p(y1－y2)y21＋p2＝p(y1－－p2y1)y21＋p2＝py1.∴tan2＝2tan1－tan2＝2py11－(py1)2＝2py1y22－p2＝2py1y22＋y1y