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第1页抛物线性质归纳、证明和应用抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的点的轨迹,它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线,它只有一支(双曲线有两支),只有一条对称轴,没有渐近线和对称中心,属于无心曲线.抛物线的焦半径、焦点弦性质丰富多彩,此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨,抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点,这里就它的一些性质加以归纳,说明和证明,及其在历年高考和模拟考试出现的典例.一、焦半径、焦点弦性质如图,AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,AD、BC是准线的垂线,垂足分别为D、C,M是CD的中点,N是AB的中点.设点A(x1,y1)、点B(x2,y2),直线AB交y轴于点K(0,y3),则:⑴①y1y2=-p2;②x1x2=p24;③1y1+1y2=1y3;④|AB|=x1+x2+p=2psin2(为AB的倾斜角);⑤S△OAB=p22sin,S梯形ABCD=2p2sin3..⑵1|AF|+1|BF|=2p;⑶∠AMB=∠DFC=Rt∠;⑷AM、BM是抛物线的切线;⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线;⑹AM、DF、y轴三线共点,BM、CF、y轴三线共点;⑺A、O、C三点共线,B、O、D三点共线;⑻若|AF|:|BF|=m:n,点A在第一象限,为直线AB的倾斜角.则cos=m-nm+n;⑼以AF为直径的圆与y轴相切,以BF为直径的圆与y轴相切;以AB为直径的圆与准线相切.⑽MN交抛物线于点Q,则,Q是MN的中点.K(0,y3)CMDB(x2,y2)ROF(p2,0)A(x1,y1)xyHGx=-p2NQ第2页★⑴①y1y2=-p2;②x1x2=p24;③1y1+1y2=1y3④|AB|=x1+x2+p=2psin2(为AB的倾斜角);⑤S△OAB=p22sin,S梯形ABCD=2p2sin3.【证明】设过焦点F(p2,0)的AB的直线方程为x=my+p2,代入抛物线方程y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因此①y1y2=-p2,y1+y2=2pm.另由⑶得在Rt△CFD中,FR⊥CD,有|RF|2=|DR|·|RC|,而|DR|=|y1|,|RC|=|y2|,|RF|=p,且y1y2<0∴y1y2=-p2.②又点A、B在抛物线上,有x1=y212p,x2=y222p,因此x1x2=y212p·y222p=(y1y2)24p2=p24.③1y1+1y2=y1+y2y1y2=2pm-p2=-2mp,在直线AB方程x=my+p2中令x=0,得y3=-p2m,代入上式得1y1+1y2=1y3④【证法一】根据抛物线的定义,|AF|=|AD|=x1+p2,|BF|=|BC|=x2+p2,|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p又|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2=1+m2|y2-y1|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=1+m24m2p2+4p2=2p(1+m2)当m≠0时,m=1k=1tan=cossin,有1+m2=1+cos2sin2=1sin2(k为直线AB的斜率)当m=0时,=90,1+m2=1也满足1+m2=1sin2∴|AB|=2p(1+m2)=2psin2.【证法二】如图2,过A、B引x轴的垂线AA1、BB1,垂足为A1、B1,那么|RF|=|AD|-|FA1|=|AF|-|AF|cos,∴|AF|=|RF|1-cos=p1-cos同理,|BF|=|RF|1+cos=p1+cos∴|AB|=|AF|+|BF|=p1-cos+p1+cos=2psin2.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOA1B1F图2CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOF(p2,0)图1第3页【证法三】极坐标法,设抛物线的极坐标方程为=p1-cos,则|AF|=1=p1-cos,|BF|=2=p1-cos(+)=p1+cos.∴|AB|=|AF|+|BF|=p1-cos+p1+cos=2psin2.⑤S△OAB=S△OAF+S△OBF=12|OF||y1|+12|OF||y1|=12·p2·(|y1|+|y1|)∵y1y2=-p2,则y1、y2异号,因此,|y1|+|y1|=|y1-y2|∴S△OAB=p4|y1-y2|=p4(y1+y2)2-4y1y2=p44m2p2+4p2=p221+m2=p22sin.又∵|CD|=|AB|sin=2psin,|AD|+|BC|=|AB|=2psin2.∴S梯形ABCD=12(|AD|+|BC|)·|CD|=12×2psin×2psin2=p2sin3.【例1】(2001年新课程高考文)设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则OA→·OB→=····················································································()A.34B.-34C.3D.-3【解】设A(x1,y1),B(x2,y2),则OA→·OB→=x1x2+y1y2=p24-p2=-34,故选B.【例2】(2009年福建理)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p=.【解】由性质⑴得|AB|=2psin2=2psin245=8,∴p=8×122=4.★⑵1|AF|+1|BF|=2p【证法一】由⑴x1x2=p24,且|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2.∴1|AF|+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+p(x1+p2)·(x2+p2)=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp24+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p【证法二】由|AF|=1=p1-cos,|BF|=2=p1-cos(+)=p1+cos.∴1|AF|+1|BF|=11+12=1-cosp+1+cosp=2p【例3】(2000全国)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与第4页FQ的长分别是p、q,则1p+1q等于·····························································()A.2aB.12aC.4aD.4a【解】由y=ax2得x2=1ay,(抛物线焦点到准线的距离为12a),由此得1p+1q=4a,故选C.★⑶∠AMB=∠DFC=Rt∠,先证明:∠AMB=Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图3,则△ADM≌△ECM,∴|AM|=|EM|,|EC|=|AD|∴|BE|=|BC|+|CE|=|BC|+|AD|=|BF|+|AF|=|AB|∴△ABE为等腰三角形,又M是AE的中点,∴BM⊥AE,即∠AMB=Rt∠【证法二】取AB的中点N,连结MN,则|MN|=12(|AD|+|BC|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|,∴|MN|=|AN|=|BN|∴△ABM为直角三角形,AB为斜边,故∠AMB=Rt∠.【证法三】由已知得C(-p2,y2)、D(-p2,y1),由此得M(-p2,y1+y22).∴kAM=y1-y1+y22x1+p2=y1-y22·y212p+p=p(y1-y2)y21+p2=p(y1--p2y1)y21+p2=py1,同理kBM=py2∴kAM·kBM=py1·py2=p2y1y2=p2-p2=-1∴BM⊥AE,即∠AMB=Rt∠.【证法四】由已知得C(-p2,y2)、D(-p2,y1),由此得M(-p2,y1+y22).∴MA→=(x1+p2,y1-y22),MB→=(x3+p2,y2-y12)∴MA→·MB→=(x1+p2)(x2+p2)+(y1-y2)(y2-y1)4=x1x2+p2(x1+x2)+p24-(y1-y2)24=p24+p2(y212p+y222p)+p24-y21+y22-2y1y24=p22+y1y22=p22+-p22=0∴MA→⊥MB→,故∠AMB=Rt∠.【证法五】由下面证得∠DFC=90,连结FM,则FM=DM.CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFENM图3CDBRAxyOF图41234M第5页又AD=AF,故△ADM≌△AFM,如图4∴∠1=∠2,同理∠3=∠4∴∠2+∠3=12×180=90∴∠AMB=Rt∠.接着证明:∠DFC=Rt∠【证法一】如图5,由于|AD|=|AF|,AD∥RF,故可设∠AFD=∠ADF=∠DFR=,同理,设∠BFC=∠BCF=∠CFR=,而∠AFD+∠DFR+∠BFC+∠CFR=180∴2(+)=180,即+=90,故∠DFC=90【证法二】取CD的中点M,即M(-p2,y1+y22)由前知kAM=py1,kCF=-y2+p2+p2=-y2p=py1∴kAM=kCF,AM∥CF,同理,BM∥DF∴∠DFC=∠AMB=90.【证法三】∵DF→=(p,-y1),CF→=(p,-y2),∴DF→·CF→=p2+y1y2=0∴DF→⊥CF→,故∠DFC=90.【证法四】由于|RF|2=p2=-y1y2=|DR|·|RC|,即|DR||RF|=|RF||RC|,且∠DRF=∠FRC=90∴△DRF∽△FRC∴∠DFR=∠RCF,而∠RCF+∠RFC=90∴∠DFR+∠RFC=90∴∠DFC=90【例4】(2009年湖北文)如图7,过抛物线y2=2px(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向准线l作垂线,垂足分别为M1、N1,求证:FM1⊥FN1★⑷AM、BM是抛物线的切线图5CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOF(p2,0)CDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFM图6GHD1N1NMxyOF图7M1lCDB(x2,y2)RA(x1,y1)xyOFM图8D1第6页【证法一】∵kAM=py1,AM的直线方程为y-y1=py1(x-y212p)与抛物线方程y2=2px联立消去x得y-y1=py1(y22p-y212p),整理得y2-2y1y+y21=0可见△=(2y1)2-4y21=0,故直线AM与抛物线y2=2px相切,同理BM也是抛物线的切线,如图8.【证法二】由抛物线方程y2=2px,两边对x求导,(y2)x=(2px)x,得2y·yx=2p,yx=py,故抛物线y2=2px在点A(x1,y1)处的切线的斜率为k切=yx|y=y1=py1.又kAM=py1,∴k切=kAM,即AM是抛物线在点A处的切线,同理BM也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A(x1,y1)的切线方程为y1y=p(x+x1),把M(-p2,y1+y22)代入左边=y1·y1+y22=y21+y1y22=2px1-p22=px1-p22,右边=p(-p2+x1)=-p22+px1,左边=右边,可见,过点A的切线经过点M,即AM是抛物线的切线,同理BM也是抛物线的切线.★⑸AM、BM分别是∠DAB和∠CBA的平分线【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,则△ADM≌△ECM,有AD∥BC,AB=BE,∴∠DAM=∠AEB=∠BAM,即AM平分∠DAB,同理BM平分∠CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可,即=2.且M(-p2,y1+y22)∵tan=kAB=y2-y1x2-x1=y2-y1y222p-y212p=2py1+y2.tan=kAM=y1-y1+y22x1+p2=y1-y22·y212p+p=p(y1-y2)y21+p2=p(y1--p2y1)y21+p2=py1.∴tan2=2tan1-tan2=2py11-(py1)2=2py1y22-p2=2py1y22+y1y
本文标题:抛物线性质归纳、证明和应用
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