正弦函数余弦函数的函数的周期性

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时问题提出问题.根据正弦函数和余弦函数的图象,你能说出它们具有哪些性质？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1222222222222y=cosx根据正弦函数和余弦函数的定义域为R,值域是[-1,1]一、周期函数的概念思考1:观察上图,正弦曲线每相隔个单位重复出现.y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2π诱导公式sin(2kπ+x）=sinx其理论依据是什么？诱导公式sin(x+2π)=sinx,的几何意义．xyoXX+2πXX+2π正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的当自变量x的值增加2π的整数倍时,函数值重复出现.数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律思考2:设f(x)=sinx,则sin(x+2π)=sinx用符号语言可以怎样表示？f(x+2kπ)=f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现.为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期(其中k∈z且k≠0).思考3:把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么,一般地,如何定义周期函数呢？周期函数的定义:对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？答:周期函数的周期不止一个.±2π,±4π,±6π,…都是正弦函数的周期,事实上,任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就叫做这个函数的周期.已知f(x+T)=f(x)(T≠0)，求证:f(x+2T)=f(x)．证明：因为T是f(x)的周期，所以f(x+T)=f(x)，F[(x+T)+T]=f(x+T)，即f(x+2T)=f(x)．因此2T是f（x）的周期．这个命题推广可得到什么结论？2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期．如果一个函数是周期函数,所有的周期就构成一个无穷集合．最小正周期:今后本书中所涉及到的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.思考5：周期函数是否一定存在最小正周期？例如：f(x)=c(c为常数）否如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数’非零常数T就叫做这个函数的周期.最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π思考6：我们知道±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有,那么最小正周期T等于多少？证明：假设存在T∈(0,2π)使得y=sinx对于任意的x∈R都成立那么根据周期函数的定义，当x为任意值时都有sin（x+T）=sinx．这与T∈(0,2π)时,cosT＜1矛盾.这个矛盾证明了y=sinx,x∈R的最小正周期是2π.令x=π/2,代入上式得，sin（π/2+T）=sinπ/2=1.但sin（π/2+T）=cosT，于是又cosT=1。证明：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π:1.,()()().sin()sin,424fxTfxTyfxxx例定义是对定义域中的值来说的只有注意:每一个个别的满足不能说值:是的周期如2sin()sin,sin.22xxxyx就是说不能对在定义域内的每一个值使因此不是的周期sin()sin.323但是f(x＋T)=f(x)是反映周期函数本质属性的条件.对于任意常数T(T≠0),如果在函数定义域中至少能找到一个x,使f(x＋T)＝f(x)不成立,则y=f(x)不是周期函数.对于某个确定的常救T≠0.如果在函数定义域中至少能找到一个x,使f(x＋T)＝f(x)不成立.我们能断言T不是函数y=f(x)的周期,但不能说明y＝f(x)不是周期函数．判断下列说法是否正确（1）时，则一定不是的周期3x2sin()sin3xx23sinyx（）√（2）时，则一定是的周期76x2sin()sin3xx23sinyx（）×2.()()fxTfxx等式,强调本身加的常数:自变量才是周期.3.(1)(,)(2)()1.()()0.()fxCxDxCxxR并不是所有的函数都有最小正周期,例如常值函数为常数周期当为有理数时，周期为任一有理数。为任一实数它们都没有最当为无理数时小正周期.2((2)(2),,(2)()2)2)2(,.TfxfxTfxTfxTfxTyfx例如:不是周期而应写成才是时函此数的周期XX+2πyx024-2y=sinx(x∈R)自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的oyx4π8πxoy6π12π三角函数的周期性:4.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期.(k为非零整数)正弦函数y=sinx是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期T=2π．余弦函数y=cosx是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期T=2π．思考7：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1222222222222y=cosx二：周期概念的拓展思考1：判断下列说法是否正确思考2：周期函数的定义域有什么特点？函数f(x)=sinx,x∈[0，10π]是周期函数()╳x在定义域内，x+T也在定义域内周期函数的定义域是个无限集例1求下列函数的周期：⑴y=3cosx,x∈R;⑵y=sin2x,x∈R;⑶y=2sin(-),x∈R;2x6∴3cos(x+2π)=∴由周期函数的定义可知,原函数的周期为2π解：⑴∵y=cosx的周期为2π3cosx⑵y=sin2x,x∈R;∵sin2(x+π)=∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为πsin2xsin(2x+2π)=解：⑶y=2sin(-),x∈R;∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π]6)4(21sin[2x)621sin(2x]2)621sin[(2x2x6解：1()2sin.26fxxT解:设的周期为()()fxTfx112sin()2sin2626xTx1112sin2sin26226xTx11,sinsin262uxuTu令则sin22,4.2TyuT的周期为即由上例知函数y=3cosx的周期T=2π；函数y=sin2x的周期T=π；函数y=2sin(-)的周期T=4π想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？2x6自变量的系数的绝对值πT2思考5:一般地,函数的最小正周期是多少?sin()yAxwj=+(0,0)Aw?思考3:函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少?思考6:如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx＋φ)的周期是多少？2ωπT|ω|T例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？〖分析〗由已知有：f(x＋2)=-f(x)∴f(x+4)=即f(x＋4)=f(x)∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.f(x)=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]=例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1),且当x∈[0,2]时,f(x)=x－4,求f(10)的值.解：因为f(x+1)=f(x-1)，所以f(10)=f(9+1)=f(9-1)=f(8);f(8)=f(7+1)=f(7-1)=f(6);f(6)=f(5+1)=f(5-1)=f(4);f(4)=f(3+1)=f(3-1)=f(2);f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0);因此f(10)=f(0);而f(0)=0-4=-4。所以f(10)=-4练习1.求下列函数的周期：(1)sin3,;(2)cos;3(3)3sin,;(4)sin();410(5)cos(2),;31(6)3sin(),.24xyxxRyxyxRyxyxxRyxxR练习2(1)函数y＝sinπx的周期是T=＿＿＿(2)函数y＝cos2πx的周期是T=_____.(1)()5fx3.下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？R1Q2()0QxfxxC（）4.y=sinx(x∈[0,4π])是周期函数吗？5.是不是周期函数？为什么？sinxxyx一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ为常数，且A≠0,ω≠0）的周期是:周期求法：1.定义法：2.公式法：2(0)T•3.图象法:g(x)=|sinx|x∈R.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期归纳整理1.说说周期函数的定义.3.什么叫周期函数的最小正周期？2.求函数周期的方法：4.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.5.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，那么T的整数倍也是f(x)的周期.6.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(A＞0)的最小正周期T=2π这个公式，解题时可以直接应用（1）定义法（2）公式法（3）图象法作业：P36练习P46：A组3B组3证明：函数f(x)的周期是T，则f(x+T)=f(x)对定义域内的任何x都成立设g(x)=f(ωx)则g(x+T/ω)=f[ω(x+T/ω)]=f(ωx+T)=f(ωx)=g(x)这说明了函数g(x)以T/ω为周期即函数f(ωx)以T/ω为周期。设函数y=f(x)是以T为周期的周期函数，试证函数y=f(ωx)(ω0)是以T/ω为周期的周期函数