数学模型与数学建模5.4--多目标规划

5.4多目标规划在很多实际决策问题中，需要对多个目标进行优化、设计。比如，在组合投资决策中，理性的投资者具有“非满足性”及“风险回避性”两个特征。他们希望投资收益尽量地高,又希望投资风险尽量地小。只有对这两个指标综合衡量后,才能作出合理的决策。因此证券组合投资决策属于多目标规划。所谓多目标规划就是在一组约束条件下，优化多个目标函数。其一般形式为：（5.4.1）其中是n维决策向量，是目标函数，是约束条件。12max.(),(),,().()0,1,2,,mjstfffgjlxxxxT12,,,nxxxx=(),1,2,,ifimx()0,1,2,,jgjlx记集合，称为多目标规划问题（5.4.1）的可行域。一般而言，多个目标存在冲突，因此不存在最优解使得m个目标函数同时达到最优。对于多目标规划问题，需要引进有效解的概念。()0,1,2,,jSgjlxxS定义5.4.1设为定义在维欧式空间某一区域上的实函数，对于，若不存在，使得，且至少对某个成立严格的不等号，则称为多目标规划问题（5.4.1）的有效解（也称Pareto最优解或非劣解）。所有有效解构成的集合称为多目标规划问题（5.4.1）的有效解集，记为。在目标函数空间中称为多目标规划问题（5.4.1）的有效点。12(),(),,()mfffxxxnnESnSE*xSx()(),1,2,,iiffim*xx01,2,,imS*x(,)Efx12(),(),,()mfff***xxx例5.4.1，试求多目标规划问题的有效解。实际上，经简单计算知，的最优解为，的最优解为，所以此多目标规划问题不存在最优解，根据定义5.4.1知为多目标规划问题（5.4.1）的有效解。22121()2,()(123615),0,28fxxxfxxxS12max.(),().stfxfxxS1max()xSfx(1)1x2max()xSfx(2)1.5x[1,1.5]x求解多目标规划问题有效解的基本方法就是把多目标规划问题进行标量化处理，即将其转化为单目标规划问题来求解。通常对m个目标分别乘以权系数，然后求和得新的目标函数：。从而有如下单目标规划问题：（5.4.2）12(),(),,()mfffxxx12,,,m1()()miiiUfxx1.max()().()0,1,2,,miiijstUfgjlxxx其中权系数，且。对于单目标规划问题（5.4.2）的最优解和多目标规划问题（5.4.1）的有效解之间关系有：定理5.4.1若是单目标规划问题（5.4.3）的最优解，则一定是多目标规划问题（5.4.1）的有效解，即。12,,,0m11mii*x(,)Ef*xx例5.4.2证券组合投资多目标规划模型由Markowitz提出的证券组合投资模型采用了收益率均值和收益率方差作为评价风险证券的两个指标，建立了证券组合均值—方差模型。它告诉我们一个理性投资者在拥有一定数量资本的条件下，如何在若干种风险证券上进行合理的资金分配，以达到尽量地分散风险，获得最大收益的目的。实际上理性的投资者具有“非满足性”及“风险回避性”两个特征。他们希望投资收益尽量地高，又希望投资风险尽量地小。只有对这两个指标综合衡量后，才能作出合理的决策。因此证券组合投资决策属于多目标决策，因此可以考虑建立证券组合投资的多目标规划模型。设证券市场上有n种证券，则第i种证券单位投资额的收益率为。其中表示第i种证券出售价格，表示相应的买入价，表示相应的持有期所获得的红利，股息等。显然为一随机变量。i100()/,1,2,iiiiippdpin1ip0ipidi假设投资者的投资金额为，为外生变量，令表示投资者投资到第i种证券投资额，为内生变量。令表示第i种证券单位交易额的交易费用，则扣除交易费用后第i种证券投资收益额为：。从而n种证券投资组合的期望收益额为：mmixiC()iiiiiiRxxCx1211(,,)()nnpniiiiiiiRxxxERxECxn种证券组合投资的风险为：，其中表示第i种证券与第j种证券收益率的协方差。在证券组合投资决策时，假定投资者不允许被卖空，即不允许卖出他人的证券以后再将其买回来归还他人的投机行为，所以要求投资者对n种证券的投资额满足。221211(,,)()()nnpniiiiijijiixxxRxERxxx()()ijiijjEEE0,1,2,,ixin考虑到预算约束条件，要求投资者在n种证券上投资额和支付的交割费不应超过其自身的货币持有量，即：。于是我们得到了考虑交易费用的证券组合投资的多目标规模模型：（5.4.4）m11nniiiiixCxm2121112111min(,,)max(,,)s.t.0,1,2,,,nnpnijijijnpniiiinniiiiiixxxxxRxxxECxxCxmxin若令表示证券组合投资向量，表示证券单位交易额的交易费用向量，表示证券组合收益的协方差矩阵，一般假定为n阶正定阵。为元素1构成的n维列向量，即表示证券期望收益率向量，12(,,,)nxxxX12(,,,)nCccc()ijnnVVI12(1,1,,1),(,,,)nREEEI则上述模型（5.4.4）可表示为如下矩阵形式：一般而言，各种证券具有偿还性、流动性、风险性、收益性四方面的特征，其中证券的收益性与风险性大体上呈同方向增长，即收益越大，风险也越大min(),max(),s.t.,pTpTTRRCICm20XXVXXXXXX因此我们要想使收益和风险两个目标同时实现最优化是不可能的。对于上述证券组合投资双目标优化问题，我们采用了线性加权和法，即对两个目标和分别给以权系数作新的目标函数：()p2X()pRX2min()()(1)()(1),s.t.0,ppTTTURRCICmXXXXVXXXXX显然这是一个二次规划问题，目标函数为严格凸函数，二次规划可行域为凸集，此规划属于凸规划。由非线性规划理论知，凸规划局部极值即为全局极值，Kuhn-Tucker条件既是最优点存在必要条件，同时也是充分条件。该模型的Kuhn-Tucker条件可表为：12(1)()0,0,1,2,,0,0,0,0TTnjjRCICYICxmxyjnYVXXXX其中是与第一个约束条件相对应的Kuhn-Tucker乘子，是与非负证券组合投资向量相对应的K-T乘子，为第1个约束条件所引入的松驰变量。为求解K-T条件，可考虑如下线性规划问题：12(,,,)nYyyyX1nx1min()2()(1),0,1,2,,0,0,0,0,0TTTnjjZIZICYZCRICxmxyjnYZVXXXX其中是引入的人工向量，解此线性规划模型，若能得到该线性规划问题最优解，且人工向量在最优解中为零，此时的最优解就为二次规划模型的最优解。12(,,,)nZzzz习题1．某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制和每单位产品的获利如下表1,问工厂应分别生产甲、乙产品多少单位才能使工厂获利最大？建立线性规划问题数学模型，并用求其最优解。表1资源配置问题的数据2.对下列线性规划问题求解:(1)(2)0,,28242.32min32132321321321xxxxxxxxxxxtsxxxS123123123123max524322..63510,,0Sxxxxxxstxxxxxx3.某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井采油，目的是使总的钻探费用最小，若10个并位代号为A1，A2，…，A10，相应的钻控费用为c1，c2，…，c10，并且井位的选择上要满足下列条件：(1)或选择A1和A7，或选择钻探A8：；(2)选择了A3或A4就不能选A5，或反过来也一样(3)在A2、A6、A9、A10中最多只能选两个。试建立这个问题的数学模型。4．一个公司分派5个推销员去5个地区推销某种产品，其相应推销利润如下表，问如何分派5个推销员使公司的总利润达到最大？表2.推销利润表5.某工厂向用户提供发动机，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季末交40台，第二季末交60台，第三季末交80台。工厂的最大生产能力为每季100台，每季的生产费用是（元），此处为该季生产发动机的台数。若工厂生产的多，多余的发动机可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存贮费，每台发动机每季的存贮费为4元。问该厂每季应生产多少台发动机，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季开始时发动机无存货）。要求建立数学模型，并求解。2()500.2fxxxx6.对下列非线性规划进行求解:（1）（2）（3）131212max()(1)0,0fXxxxxx131212min()(1)0,0fXxxxxx22121212min()(3)(3)40,0fXxxxxxx7.已知某指派问题的有关数据（每人完成各项工作的时间）如下表所示，试对此问题用动态规划方法求解。要求：（1）列出动态规划的基本方程；（2）对该动态规划模型求解。表3指派问题中人员完成任务的工作时间8.某公司去一所大学招聘一名管理专业应届毕业生。从众多应聘学生中，初选3名决定依次单独面试。面试规则为：当对第1人或第2人面试时，如满意（记3分），并决定聘用，面试不再继续；如不满意（记1分），决定不聘用，找下一人继续面试。但对决定不聘用者，不能同在后面面试的人比较后再回过头来聘用。故在前两名面试者都决定不聘用时，第三名面试者不论属何种情况均需聘用。根据以往经验，面试中满意的占20%，较满意的占50%，不满意者占30%。要求用动态规划方法帮助该公司确定一个最优策略，使聘用到的毕业生期望的分值为最高。9.一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。依据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入250美元，新闻节目每小时需支出40美元，音乐节目每播一小时费用为17.50美元。法律规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20％，每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的广播节目该如何安排？优先级如下：P1：满足法律规定要求；P2：每天的纯收入最大。试建立该问题的目标规划模型。