罗尔定理的研究及推广论文

本科毕业论文（设计）题目罗尔定理应用和推广研究学院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2009级学号222009314012019姓名郑世凤指导教师杜文久成绩中2013年5月12日I目录1罗尔定理的基本性质及应用...........................................................................21.1罗尔(Rolle)中值定理.............................................................................21.2几何意义...............................................................................................21.3罗尔定理证明.......................................................................................31.4在简单函数中讨论罗尔定理条件.......................................................41.5利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理.............................51.6利用罗尔定理解决零点问题...............................................................72关于罗尔定理的进一步讨论.......................................................................112.1多元函数的的罗尔中值定理.............................................................112.2任意区间和端点值上的罗尔定理.....................................................122.4广义罗尔在高中数学中的应用.........................................................16结语......................................................................................................................18参考文献：..........................................................................................................19致谢......................................................................................................................19第1页共19页罗尔定理应用和推广研究郑世凤数学与统计学院，重庆400715摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理；RolletheoremanditsapplicationresearchShifengZhengSchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstract:ThispaperdiscussesthebasicpropertiesofRolle'stheorem,thenuseRolle'stheoremtosolvepracticalproblemsandapplications.Rolle'stheoremfurtherdiscussionatthesametime,willitspreadtothebroaderscopeofapplication,andproveitsfeasibility,finallyusingthepromotionofRolle'stheoremtosolvetheproblem.Keywords:Rolle'stheorem;Properties;Applications;Generalizedrolle'stheorem;引言微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。第2页共19页尔定理是微分中值定理中的基础定理，以罗尔定理为基础可推导拉格朗日中值定理及柯西中值定理。罗尔定理本身不仅仅局限于讨论有限区间，在给出其他更弱条件下，我们将罗尔定理推广到更广泛的适应范围，帮助我们在中学微分学教学中理解和解决函数与导数的相关问题。1罗尔定理的基本性质及应用1.1罗尔(Rolle)中值定理若函数f满足如下条件:⑴在闭区间,ab上连续;⑵在开区间,ab内可导;⑶()fafb,则,ab内至少存在一点,使得'ξ0f.1.2几何意义⑴在,ab上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的;⑵fx在开区间,ab内可导fx表明曲线yfx在每一点处有切线存在;⑶ffab表明曲线的割线直线AB平行于x轴.罗尔定理的结论的直观意义是:在,ab内至少能找到一点,'fξ0.表明曲线上至少有一点的切线斜率为0,也就平行于x轴符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线.第3页共19页图11.3罗尔定理证明方法一:根据f是闭区间,ab上连续函数的性质,由极值定理得在,ab上有最大值M和最小值m.⑴如果Mm,此时fx在,ab上恒为常数,结论显然成立.⑵如果Mm,由a(b)ff条件知,两个数,Mm中至少有一个不等于端点的函数值ff()ab，不妨设Mfamfa,证法类似,那么必定在开区间,ab内有一点使fM.因此,x,ab有(ξ)fxf,由费马引理可知'ξ0f.方法二:由于fx在处最大,故不论x是正或负,总有,ξ(ξ)0fxf,因此，当0x时,ξξ0Fxfx,故由极限的保号性有'x0ξξξ0limfxfxf，第4页共19页而当0x时，ξξ0Fxfx.故0limξξ'ξxfxfxf.综上所述及'(ξ)f存在知，必有'(ξ)0f证明完毕.1.4在简单函数中讨论罗尔定理条件了解了罗尔中值定理，我们便可以合理利用它的判定条件快速的判别一些中学遇到的简单函数导数的零点问题。但是要满足罗尔定理，罗尔定理的三个条件缺一不可。例1.10101xxxxf解:由题知:fx在0,1上不连续;fx在0,1内可导;01ff;不存在，使得'ξ0f.中不满足罗尔定理在闭区间连续的条件，其结果也不服从罗尔定理。例1.2,1,1fxxx解:由题知:(1)1,1fxC;(2)fx在1,1上不可导;第5页共19页(3)11ff,则不存在,使得'ξ0f.题中不满足罗尔定理的条件(2),其结果也不服从罗尔定理.例1.3,[0,1]fxxx.解:由题知:(1)0,1fx;(2)0,1fxD;(3)01ff,则不存在,使得'ξ0f.为此题中不满足罗尔定理的条件(3),其结果也不服从罗尔定理.面的例子说明如果函数要满足罗尔定理,那么它们需要满足罗尔中值定理的三个条件,但在一些特殊情况下,罗尔定理的条件之一不满足其结论仍然成立.(1)21(1),[2,2]yxx在x=0处不可导.(2)231(1),[0,]2yxx在端点处的函数值不相等.(3)231(1)[0,)2302xxyx在闭区间上不连续.虽然三个函数都不完全满足罗尔定理的三个条件，但其结果满足罗尔定理的结果．1.5利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理中值定理:若函数f满足如下条件:第6页共19页(1)f在闭区间[,]ab上连续;(2)f在开区间,ab内可导;则在,ab内至少存在一点,使得()()'fbfafba.证明:做辅助函数bffFfaxaxaabxf.显然0FaFb,且F在,ab上满足罗尔定理的另两个条件.故存在ξ,ab,使()'ξ'ξ0ffaFfbab()'ξfabfafb证毕完毕.柯西中值定理:设函数f和g满足⑴在,ab上连续;⑵在,ab内都可导;⑶'fx和'gx不同时为零;④gabg,则存在,ab,使得第7页共19页()'()'()()bffafgggab.证明:作辅助函数ffbaFffggggxxaxaba,易见F在[,]ab上满足罗尔定理条件,故存在,ab,使得()()'()'()'()0()()fbfaFfggbga,因为'()0g,所以,'()()()'()()()Ffbfaggbga证明完毕.1.6利用罗尔定理解决零点问题零点问题就是指零点的存在性、唯一性和零点的个数问题，这一问题可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理以及罗尔定理，不同的方法有不同的解题思路，现在我们着重讨论罗尔定理。罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛，它能够很好地解决函数零点的存在性、唯一性和零点个数等问题。下面我们举例看一看怎样运用罗尔定理解决零点问题。例1.4不求导数,判断函数()(1)(2)(3)fxxxx的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解:因为(1)(2)(3)0fff,所以()fx在闭区间[1,2]、[2,3]上满足罗尔定理的三个条件，从而，在(1,2)内至少存在一点1,使第8页共19页1'()0f,即1是'()fx的一个零点；又在(2,3)内至少存在一点2,使2'()0f,即2也是'()fx的一个零点,又因为'()fx为二次多项式,最多只能有两个零点,故'()fx恰好有两个零分别在区间(1,2)和(2,3)内.例1.5求证:方程2xaxxceb的根不超过三个(不记根的重数).证明:令2()(ax)xfxebxc在(,)连续可导;至少有四个不等的根1234,,,xxxx,不妨设1234xxxx,则()fx分别在122334[,],[,],[,]xxxxxx上.用罗尔定理得'()20xfxeaxb在14(,)xx内至少有三个不等根123,而'()fx在12[,],23[,]上连续可导,'()fx分别在12[,],23[,]上用罗尔定理,得''()20xfxea至少有两个不等