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第四章微分法:)?()(xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分目录上页下页返回结束二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质第四章目录上页下页返回结束问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)(存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数目录上页下页返回结束,)()(的一个原函数是若xfxF定理2.的所有则)(xf原函数都在函数族CxF)((C为任意常数)内.证:1)的原函数是)()(xfCxF))((CxF)(xF)(xf,的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx又知)()(xfxF])()([xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C它属于函数族.)(CxF即目录上页下页返回结束定义2.)(xf在区间I上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,,d)(xxf其中—积分号;)(xf—被积函数;xxfd)(—被积表达式.x—积分变量;(P185)若,)()(xfxF则CxFxxf)(d)((C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如,xxdeCxexxd2Cx331xxdsinCxcos记作目录上页下页返回结束不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxO0x的积分曲线.目录上页下页返回结束例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:xy2xxyd2Cx2所求曲线过点(1,2),故有C2121C因此所求曲线为12xyyx)2,1(O目录上页下页返回结束xdd)1(xxfd)()(xf二、基本积分表(P188)从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维xkd)1((k为常数)Cxkxxd)2(Cx111xxd)3(Cxln时0x)1(])ln([)ln(xxx1目录上页下页返回结束21d)4(xxCxarctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cxtan或Cxcotarc21d)5(xxCxarcsin或Cxcosarcxxdsin)7(Cxcosxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot目录上页下页返回结束xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxxde)12(Cxexaxd)13(Caaxln目录上页下页返回结束例2.求.d3xxx解:原式=xxd34134Cx313例3.求.dcossin22xxx解:原式=xxdsin21Cxcos21134xC目录上页下页返回结束三、不定积分的性质xxfkd)(.1xxgxfd)]()([.2推论:若,)()(1xfkxfinii则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0(k目录上页下页返回结束例4.求.d)5(e2xxx解:原式xxxd]25e)2[(e)2ln(e)2(x2ln25xCxx2ln512lne2C目录上页下页返回结束例5.求.dtan2xx解:原式=xxd)1(sec2xxxddsec2Cxxtan例6.求.d)1(122xxxxx解:原式=xxxxxd)1()1(22xxd112xxd1xarctanCxln目录上页下页返回结束例7.求.d124xxx解:原式=xxxd11)1(24xxxxd11)1)(1(222221dd)1(xxxxCxxxarctan313目录上页下页返回结束内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P188)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质目录上页下页返回结束思考与练习1.证明xxxx1arctan2)21arccos(),12arcsin(和.12的原函数都是xx2.若则的原函数是,)(exfxd)(ln2xxfx(P193题7)提示:xe)(e)(xxfxlne)(lnxfx1Cx221目录上页下页返回结束3.若)(xf是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10目录上页下页返回结束4.若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sinx则)(xf的一个原函数是().;cos1)(xC.cos1)(xD提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx目录上页下页返回结束5.求下列积分:.cossind)2(;)1(d)1(2222xxxxxx提示:)1(1)1(1)1(2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x目录上页下页返回结束6.求不定积分解:.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e)1(e)1e(e2xxxxxd)1ee(2Cxxxee212目录上页下页返回结束7.已知22221d1d1xxBxxAxxx求A,B.解:等式两边对x求导,得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120ABA2121BA目录上页下页返回结束二、第二类换元法第二节一、第一类换元法换元积分法第四章目录上页下页返回结束第二类换元法第一类换元法xxxfd)()]([uufd)(基本思路设,)()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()]([CxF)]([)(d)(xuuuf)()(xuCuF)]([dxFxxxfd)()]([则有目录上页下页返回结束一、第一类换元法定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()]([uufd)()(xu)(d))((xxf(也称配元法即xxxfd)()]([,凑微分法)目录上页下页返回结束例1.求).1(d)(mxbxam解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC注:当1m时bxaxdCbxaaln1注意换回原变量目录上页下页返回结束221d1()xaxa例2.求.d22xax解:22dxax,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCuarctan()xa目录上页下页返回结束例3.求).0(d22axax21duu想到Cuarcsin解:2d1()xaxa)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2d()1()xaxaCaxarcsin22dxax目录上页下页返回结束例4.求.dtanxx解:xxxdcossinxxcoscosdCxcosln?dcotxxxxxsindcosCxsinlnxxsinsindxxdtan类似目录上页下页返回结束Caxaxaln21例5.求.d22axx解:221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axax)(da21axlnaxlnCaxax)(d目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:1)()dfaxbx()faxb)(dbxaa112)()dnnfxxx)(nxfnxdn113)()dnfxxx)(nxfnxdn1nx1万能凑幂法4)(sin)cosdfxxx)(sinxfxsind5)(cos)sindfxxx)(cosxfxcosd目录上页下页返回结束xxxfdsec)(tan)62)(tanxfxtandxfxxde)(e)7)(exfxedxxxfd1)(ln)8)(lnxfxlnd例6.求.)ln21(dxxxxln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dxCxln21ln21目录上页下页返回结束例7.求.de3xxx解:原式=xxde23)3d(e323xxCx3e32例8.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC目录上页下页返回结束例9.求.e1dxx解法1xxe1dxxxxde1e)e1(xdxxe1)e1(dxCx)e1ln(解法2xxe1dxxxde1exxe1)e1(dCx)e1ln()]1(eln[e)e1ln(xxx两法结果一样目录上页下页返回结束xxxsindsin11sin1121例10.求.dsecxx解法1xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21目录上页下页返回结束xxtansec解法2xxdsecxxdsecxxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxxCxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P199例18)目录上页下页返回结束222d)(2123xax例11.求.d)(23223xaxx解:原式=23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax23)(2222axa)(d22ax22ax222axaC目录上页下页返回结束)2cos2cos21(241xx例12.求.dcos4xx解:224)(coscosxx2)22cos1(x)2cos21(24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C目录上页下页返回结束例13.求.d3cossin22xxx解:xx3cossin22221)]2sin4(sin[xxxxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1
本文标题:同济高等数学第六版上册第四章ppt
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