51天津大学计算机控制系统――8.计控现代设计方法(第一部分)

计算机控制系统授课教师：孟庆浩授课对象：自动化专业本科生授课时间：2010/2011学年第2学期slide2第八章计算机控制系统现代设计方法－基于状态空间的分析与设计－slide3提纲8.1离散系统状态空间分析8.1.1线性离散系统状态方程„由高阶差分方程求离散状态方程„由Z传递函数求离散状态方程8.1.2被控对象连续状态方程的离散化8.1.3计算机控制系统的闭环离散状态方程8.1.4离散系统的传递函数矩阵与特征值8.1.5离散状态方程的求解8.1.6线性离散系统的稳定性、可控性和可观性8.2离散系统状态空间设计8.2.1极点配置8.2.2状态观测器slide4计算机控制系统经典设计方法回顾模拟化设计方法离散化设计方法slide5经典控制和现代控制的区别何在‹研究对象‹数学模型‹数学基础slide6¾差分方程或脉冲传递函数--离散时间系统输入/输出特性的描述;线性离散系统状态方程¾如何根据系统的差分方程和Z传递函数描述得到它的基于输入-状态-输出的状态空间描述？slide78.1离散系统状态空间分析8.1.1线性离散系统状态方程„由高阶差分方程求离散状态方程„由Z传递函数求离散状态方程8.1.2被控对象连续状态方程的离散化8.1.3计算机控制系统的闭环离散状态方程8.1.4离散系统的传递函数矩阵与特征值8.1.5离散状态方程的求解8.1.6线性离散系统的稳定性、可控性和可观性8.2离散系统状态空间设计8.2.1极点配置8.2.2状态观测器提纲slide8设n阶线性定常系统差分方程的一般形式为式中ai，bj（i=1,2,…,n，j=0,1,…,m）是由系统结构参数决定的常系数，一般有n≥m。101()(1)()()(1)()nmyknayknaykbukmbukmbuk+++−++=+++−++LL1()(1)()()nyknayknaykbuk+++−++=L由高阶差分方程求离散状态方程【情况1】差分方程不含输入函数的高阶差分项当m=0时，差分方程的形式为:slide9若选取状态变量为121321()()()(1)(1)()(2)(1)()(1)(1)nnxkykxkykxkxkykxkxkyknxk−=⎧⎪=+=+⎪⎪=+=+⎨⎪⎪=+−=+⎪⎩M12231111(1)()(1)()(1)()(1)()()()()()nnnnnxkxkxkxkxkxkxkaxkaxkbukykxk−+=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪+=−−−+⎪⎩=ML(1)()()()()xkAxkBukykCxk+=+⎧⎨=⎩则可得到离散状态方程和输出方程分别为或由高阶差分方程求离散状态方程slide10式中x(k)是n维状态向量，A、B、C分别为n×n、n×1、1×n系数矩阵。表示为[例8.1]设线性定常差分方程为试写出状态方程和输出方程。1211010()000()(),001()nnnxkxkxkAxkaaa−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥−−−⎣⎦LLMMLMMLL[]0,1000BCb⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ML(3)5(2)3(1)6()2()ykykykykuk++++++=由高阶差分方程求离散状态方程slide11[]112233123(1)010()0(1)001()0()(1)635()2()()100()()xkxkxkxkukxkxkxkykxkxk+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由高阶差分方程求离散状态方程【解】：由已知条件知a1=5，a2=3，a3=6，b=2，得到状态方程和输出方程分别为slide12【情况2】差分方程包含输入函数的高阶差分项当m=n（也适用于mn）时，差分方程的形式为101()(1)()()(1)()nnyknayknaykbuknbuknbuk+++−++=+++−++LL1110222011333021120112211()()()nnnnnnhbabhbabahhbabahahhbabahahah−−−=−⎧⎪=−−⎪⎪=−−−⎨⎪⎪=−−−−−⎪⎩ML由高阶差分方程求离散状态方程若选取状态变量为其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−+=−+=−+=−=−−)()1()()()1()()()1()()()()(1122311201kuhkxkxkuhkxkxkuhkxkxkubkykxnnnMslide13其状态方程和输出方程可表示为式中系数矩阵A、B、C、D分别为(1)()()()()()xkAxkBukykCxkDuk+=+⎧⎨=+⎩[]121110010000,001100,nnnnhhABhaaahCDb−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦==LLMMLMMLLL由高阶差分方程求离散状态方程slide14„对于线性时变差分方程也可以用上述类似的方法写出状态方程，且可以得到形式上与时不变状态方程相同的时变状态方程，只是由于时变差分方程的系数ai，bj（i=1,2,…,n；j=0,1,…,m）都是k的函数，即ai(k)，bj(k)，因此，系数矩阵A，B，C，D也都是k的函数，即A(k)，B(k)，C(k)，D(k)。于是，对于线性时变差分方程所对应的状态方程和输出方程的一般形式为：(1)()()()()()()()()()xkAkxkBkukykCkxkDkuk+=+⎧⎨=+⎩„以上针对线性定常差分方程介绍了状态方程的列写方法，由于状态变量的选择不是惟一的，因此状态方程也不是惟一的；由高阶差分方程求离散状态方程slide158.1离散系统状态空间分析8.1.1线性离散系统状态方程„由高阶差分方程求离散状态方程„由Z传递函数求离散状态方程8.1.2被控对象连续状态方程的离散化8.1.3计算机控制系统的闭环离散状态方程8.1.4离散系统的传递函数矩阵与特征值8.1.5离散状态方程的求解8.1.6线性离散系统的稳定性、可控性和可观性8.2离散系统状态空间设计8.2.1极点配置8.2.2状态观测器提纲slide16设离散系统的Z传递函数的一般形式为式中n≥m，ai，bj为常系数。1011111()()()mmmmnnnnbzbzbzbYzGzUzzazaza−−−−++++==++++LL由Z传递函数求状态方程1．并行程序法也称为部分分式法，当Z传递函数G(z)的极点已知时，将G(z)表示成部分分式和的形式，用这种方法比较简便。下面分单极点和重极点两种情况，分别举例说明这种方法求状态方程和输出方程。slide17[例8.2]设Z传递函数为试用并行法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成极点形式于是，得到则对应的方块图如图8.1所示。22()21()()56YzzzGzUzzz++==++22()2114()1()5623YzzzGzUzzzzz++===+−++++14()()()()23YzUzUzUzzz=+−++由Z传递函数求状态方程slide18选取的状态变量为则对应的差分方程为121()()21()()3xzUzzxzUzz⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1122(1)2()()(1)3()()xkxkukxkxkuk+=−+⎧⎨+=−+⎩图8.1例8.2方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)1-412z+31+z由Z传递函数求状态方程slide19对应的状态方程为系数矩阵A的对角线上的两个元素即为G(z)的两个极点。由于则有于是得到输出方程为1122(1)()201()(1)()031xkxkukxkxk+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1214()()()()()4()()23YzUzUzUzxzxzUzzz=+−=−+++12()()4()()ykxkxkuk=−+由Z传递函数求状态方程[]12()()14()()xkykukxk⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦-slide20[例8.3]设Z传递函数为试用并行法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成极点形式于是，得到则对应的方块图如图8.2所示。2()1()()(1)(2)YzGzUzzz==++2()111()()2(1)1YzGzUzzzz==+−+++2111()()()()2(1)1YzUzUzUzzzz=+−+++由Z传递函数求状态方程slide21选取的状态变量为12331()()21()()11()()1xzUzzxzxzzxzUzz⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩x3(z)图8.2例8.3方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-112z+11z+11z+由Z传递函数求状态方程2111()()()()2(1)1YzUzUzUzzzz=+−+++slide22因而有关系式对应的状态方程为由于则有或1122333()2()()()()()()()()zxzxzUzzxzxzxzzxzxzUz=−+⎧⎪=−+⎨⎪=−+⎩112233(1)200()1(1)011()0()(1)001()1xkxkxkxkukxkxk+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=−+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2123111()()()()2(1)1()()()YzUzUzUzzzzxzxzxz=+−+++=+−123()()()()ykxkxkxk=+−[]123()()111()()xkykxkxk⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦由Z传递函数求状态方程slide232．串行程序法串行程序法也叫迭代程序法，当G(z)的零极点都已知时，用这种方法比较方便。因此，在串行程序法中，应将Z传递函数G(z)表示成零极点形式。[例8.4]设Z传递函数为试用串行法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成零极点形式于是，得到则对应的方块图如图8.3所示。22()21()()56YzzzGzUzzz++==++()35/3()1()23YzzGzUzzz−+==+⋅++35/3()()()23zYzUzUzzz−+=+⋅++由Z传递函数求状态方程slide24选取的状态变量为：对应的状态方程和输出方程为：图8.3例8.4方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)32z−+5/33zz++1213()()25/3()()3xzUzzzxzxzz−⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩112220(1)()3()1(1)()333xkxkukxkxk−⎡⎤+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]12()()01()()xkykukxk⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦由Z传递函数求状态方程35/3()()()23zYzUzUzzz−+=+⋅++slide253．直接程序法当G(z)以有理分式表示，且零极点不便于求出时，用直接程序法比较方便。[例8.5]设Z传递函数为试用直接程序法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成如下形式则由上式可得到2()4()()32YzzGzUzzz+==++1212()4()()132YzzzGzUzzz−−−−+==++1212()3()2()()()()4()QzzQzzQzUzYzzQzzQz−−−−⎧=−−+⎪⎨=+⎪⎩由Z传递函数求状态方程1212()()()4132YzUzQzzzzz−−−−=+++=Q(z)方块图？slide26则对应的方块图如图8.4所示。选取的状态变量为则对应的差分状态方程和输出方程为Q(z)图8.4例8.5方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-3-241z−1z−11212()()()()xzzxzxzzQz−−⎧=⎪⎨=⎪⎩12212(1)()(1)2()3()()xkxkxkxkxkuk+=⎧⎨+=−−+⎩[]12()()41()xkykxk⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由Z传递函数求状态方程slide274．嵌套程序法当G(z)以有理分式表示，且零极点不便于求出时，除了可用直接程序法外，还可以用嵌套程序法求状态方程。[例8.6]设Z传递函数为试用嵌套程序法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成如下形式则