幂级数课件

第十四章幂级数引言前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广的应用）.§14.1幂级数一幂级数及其收敛性二幂级数的性质三幂级数的运算四小结1.定义形如20010200()()()nnaxxaaxxaxx0(),nnaxx一、幂级数的定义及其收敛性的函数项级数称为幂级数.幂级数系数通项注:当时,上面的幂级数化为00x20120.nnnnnaxaaxaxax我们主要讨论形如(2)的幂级数,因为只要把(2)中的换成,就得到(1).x0xx(1)(2)2.幂级数的收敛点与收敛域如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,,120xxxnn例如级数;,1收敛时当x;,1发散时当x);1,1(收敛域);,1[]1,(发散域因此级数敛散性的问题对于函数项级数或幂级数而言，正确的提法是区间上的那些点使级数收敛，那些点使级数发散？)()(limxsxsnn函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.3.和函数)()()()(21xuxuxuxsn在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.定义域是什么?),(xsn定义域就是级数的收敛域定理14.1(Abel定理)如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;如果级数0nnnxa在0xx处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.证明,0lim0nnnxa,)1(00收敛nnnxa),2,1,0(0nMxann使得,Mnnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0,10时当xx,00收敛等比级数nnxxM,0收敛nnnxa;0收敛即级数nnnxa,)2(0时发散假设当xx而有一点1x适合01xx使级数收敛,则级数当0xx时应收敛,这与所设矛盾.由(1)结论xoRR几何说明收敛区域发散区域发散区域如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.由定理14.1知道定义:正数R称为幂级数的收敛半径.,0R),,[RR],,(RR.],[之一RR规定,R收敛域),(.问题如何求幂级数的收敛半径R?(1)幂级数只在0x处收敛,(2)幂级数对一切x都收敛,收敛域是称为幂级数的收敛区间.),(RR开区间),,(RR定理14.2若幂级数0nnnxa的所有系数0na,设nnnaa1lim(或nnnalim)(1)则当0时,1R;(3)当时,0R.(2)当0时,R;证明应用达朗贝尔判别法对级数0nnnxannnnnxaxa11limxaannn1lim,x,)0(lim)1(1存在如果nnnaa由比值判别法,,1||时当x,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa,1||时当x,||0发散级数nnnxa开始并且从某个n|,|||11nnnnxaxa0||nnxa.0nnnxa发散从而级数;1R收敛半径,0)2(如果,0x),(011nxaxannnn有,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa;R收敛半径,)3(如果,0x.0nnnxa必发散级数.0R收敛半径),(11nxaxannnn有例1求下列幂级数的收敛域:解)1(nnnaa1lim1limnnn11R,1时当x,1时当x,)1(1nnn级数为,11nn级数为该级数收敛;该级数发散;;)1()1(1nxnnn;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx故收敛域是]1,1(.nnnalimnnlim,,R级数只在0x处收敛,nnnaa1lim11limnn,0,0R收敛域),(.;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx例2求幂级数1122nnnx的收敛域.解3523222xxx级数为缺少偶次幂的项应用达朗贝尔判别法)()(lim1xuxunnnnnnnnxx22lim12112,212x级数收敛,,1212x当,2时即x,1212x当,2时即x级数发散,,2时当x,211n级数为,2时当x,211n级数为级数发散,级数发散,原级数的收敛域为).2,2(解.)32()1(302的收敛域求幂级数例nnnxyx2)32(令0)1(nnny得时，级数收敛；当1y原级数收敛；时，，所以，当121321xx.12，所求收敛域为时，级数发散；当1ynnnaa1lim12limnnn2,21R,2121收敛即x,)1,0(收敛x,0时当x,11nn级数为,1时当x,)1(1nnn级数为发散收敛故收敛域为(0,1]..)21(2)1(41的收敛域求例nnnnxn解二幂级数的性质1（阿贝尔第二定理）定理14.4证明：即幂级数在包含收敛域中的任意闭区间上都一致收敛.2.幂级数的和函数的分析运算性质:(1)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛域I上连续.（求和与求极限可交换次序)(2)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分.（求和与求积可交换次序)xnnnxdxxadxxs000)()(即00nxnndxxa.110nnnxna(3)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可导,并可逐项求导.0)()(nnnxaxs即0)(nnnxa.11nnnxna（求和与求导可交换次序)•幂级数经逐项求导或逐项积分后，所得之幂级数的收敛半径不变；说明：•在收敛区间的端点处的收敛性可能改变；•若经逐项求导或逐项积分后得幂级数在某一端点处收敛，则在该点处(2)、(3)仍成立。推论1.设为幂级数(2)在收敛区间内的和函数,则它在内具有任意阶导数,()sx,RR,RR且可逐项求导任意次,即1122();nnsxaaxnax2232321()();nnsxaaxnnax1112()()!()();nnnsxnannnax注:由此可见是幂级数(2)的和函数的必要()sx条件是要任意次可导.()sx推论2.设是幂级数(2)在某邻域内的()sx0x和函数,则幂级数(2)的系数与在处的()sx0x各阶导数有以下关系:000123()()(),(,,,)!nnsasann注:若幂级数(2)在内有和函数,,RR()sx则幂级数(2)就由在处的各阶导数()sx0x所唯一确定.三、幂级数的运算代数运算性质:(1)加减法00nnnnnnxbxa.0nnnxc(其中21,minRRR)nnnbacRRx,,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设(2)乘法)()(00nnnnnnxbxa.0nnnxcRRx,(其中)0110bababacnnnn00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯西乘积321xxx21,minRRR注:收敛半径均为例,)(12nnnxxf,)(11nnnxxf,)1()(22nnnxnxf它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[例：由几何级数的收敛得到的几个结论)11(............1112xxxxxn)11(............32111122xnxxxxn)11(......1......32)1ln(132xnxxxxxn两边求导得两边积分得解1)1()(nnxnxs设.11)1(51的和函数，在求例nnxn110)(nnxxdxxs则1,11xxxxxxs1)(1,1112xx例6求级数11)1(nnnnx的和函数.解,)1()(11nnnnxxs,0)0(s显然两边积分得)1ln()(0xdttsx21)(xxxs,11x)11(x显然，级数的收敛域为（–1，1],1时又x.1)1(11收敛nnn).1ln()1(11xnxnnn)11(x),1ln()(xxs)1ln()0()(xsxs即例7求12)1(nnnn的和.解,)1(1nnxnn考虑级数收敛区间(-1,1),1)1()(nnxnnxs则)(11nnxx)1(2xxx,)1(23xx12)1(nnnn故)21(s.8几个常用已知和函数的幂级数;11)1(0xxnn;11)1()2(202xxnnn;1)3(202xaaxnn;!)4(0xnnenx);1ln(1)1()6(01xnxnnn;sin)!12()1()5(1121xnxnnn注意收敛域！四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念；.1112的和函数，在求nnxn思考题解答xxnn1100112111nnnnxnnxx求导11112113112nnnnnnnxxnnxnx求导1121202nnnnnnxnxxnxn231112xxx（注意下角标的灵活处理）思考题思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.例如,)(12nnnxxf,)(11nnnxxf,)1()(22nnnxnxf它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[作业教材P50—51习题1.(2)(4)(6)(8)2.3.4.5.