2012届高三复习课件-专题二十一 立体几何综合问题

专题二十一立体几何的综合问题专题二十一立体几何综合问题主干知识整合专题二十一│主干知识整合立体几何的综合问题主要包含以下几个方面：1．空间几何体的体积和点到平面的距离空间几何体的体积和点到平面的距离是密不可分的，柱体和锥体的高等同于点到平面的距离，在传统证明位置关系的立体几何问题中增加了对线段长度和多边形面积的计算要求．2．图形翻折问题将平面图形翻折成空间几何体，提高了对空间想象能力的要求，以及对线段和角度的计算能力的要求．3．存在性问题存在性问题将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题，需要先找到相应的点、线、面再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面．要点热点探究专题二十一│要点热点探究►探究点一空间几何体中点到平面距离的问题空间几何体中点到平面的距离问题，首先考虑直接法即直接找出点在平面上的射影，如果找不到再考虑转化．例1如图21－1，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AA1＝AB＝1，点O1、O分别是上、下底面菱形的对角线的交点．(1)求证：A1O∥平面CB1D1；(2)求点O到平面CB1D1的距离．图21－1专题二十一│要点热点探究【解答】(1)证明：连结O1C.∵AA1∥CC1且AA1＝CC1.∴AC∥A1C1且AC＝A1C1.∵O1、O分别是A1C1、AC的中点，∴OC∥A1O1且OC＝A1O1，∴四边形A1O1CO为平行四边形，∴A1O∥O1C.又∵A1O⊄平面CB1D1，O1C⊂平面CB1D1，∴A1O∥平面CB1D1.(2)∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.∵A1C1、B1D1为菱形A1B1C1D1的对角线，∴B1D1⊥A1C1.∵AA1∩A1C1＝A1.∴B1D1⊥平面AA1C1C.又∵B1D1⊂平面CB1D1，∴平面CB1D1⊥平面AA1C1C.在平面AA1C1C内作OH⊥CO1，H为垂足，则OH⊥平面CB1D1，线段OH的长为点O到平面CB1D1的距离．在矩形AA1C1C中，∠OCH＝∠CO1C1，∴sin∠CO1C1＝CC1CO1＝172＝27，sin∠OCH＝OHOC＝OH32＝2OH3.∴27＝2OH3，OH＝217.因此，点O到平面CB1D1的距离为217.专题二十一│要点热点探究【点评】本题中点到平面的距离并没有用转化的方法，而是直接找出距离对应的线段，通过计算三角形得来．这里找点到平面的距离，利用了面面垂直的性质定理，即先有垂面，再作交线的垂线即可求出．本题也可求三棱锥的体积．专题二十一│要点热点探究►探究点二图形翻折问题将平面几何图形翻折成空间几何体，会带来线段的长度和角度的变化，从而影响线面位置关系，解这类问题关键是需要分清楚翻折前后的变化，需要一定的空间想象能力．例2在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F(如图21－2(1))，将此梯形沿EF折成一个直二面角A－EF－C(如图21－2(2))．(1)求证：BF∥平面ACD；(2)求多面体ADFCBE的体积．图21－2专题二十一│要点热点探究【解答】(1)证明：连结EC交BF于点O，取AC中点P，连结PO，PD，可得PO∥AE，且PO＝12AE，而DF∥AE，且DF＝12AE，所以DF∥PO，且DF＝PO，所以四边形DPOF为平行四边形，所以FO∥PD，即BF∥PD，又PD⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，所以BF∥平面ACD.专题二十一│要点热点探究(2)因为二面角A－EF－C为直二面角，且AE⊥EF，所以AE⊥平面BCFE，又BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC，又BC⊥BE，BE∩AE＝E，所以BC⊥平面AEB，所以BC是三棱锥C－ABE的高，同理可证CF是四棱锥C－AEFD的高，所以多面体ADFCBE的体积V＝VC－ABE＋VC－AEFD＝13×12×2×2×2＋13×12(1＋2)×2×2＝103.专题二十一│要点热点探究【点评】对于翻折问题，通常在折痕的同侧的位置关系和线的长度、角的大小不变．异侧就会发生变化，如本题中折痕所在直线为EF，故线段AB，DC的长度有明显变化，∠DFC，∠AEB也从平角变成直角．专题二十一│要点热点探究►探究点三存在性问题空间几何体常研究的存在性问题包括，是否存在线面平行；是否存在线面垂直．例3如图21－3所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB＝2BC，AC＝AA1＝3BC.(1)证明：A1C⊥平面AB1C1；(2)若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．图21－3专题二十一│要点热点探究【解答】(1)证明：∵AB＝2BC，AC＝3BC，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又AA1⊥平面ABC，CC1∥AA1，∴CC1⊥平面ABC，∴BC⊥CC1.∴BC⊥面ACC1A1，∴BC⊥A1C，B1C1⊥A1C.∵AC＝AA1，∴侧面ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C，又B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.专题二十一│要点热点探究(2)存在点E，且E为AB的中点，下面给出证明：取BB1的中点F，连结DF，则DF∥B1C1.再取AB的中点为E，连结EF，则EF∥AB1.B1C1与AB1是相交直线，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.专题二十一│要点热点探究【点评】探究性命题常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题目可以采取以下两种方法：(1)尝试和探究题目所给条件；(2)找出命题成立的必要条件，再证明充分性．专题二十一│要点热点探究已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：BC⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面BDC，并说明理由．图21－4专题二十一│要点热点探究【解答】(1)证明：由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，且AE∩EC＝E，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC，又BC⊥CE，且DE∩CE＝E，∴BC⊥平面DCE，(2)证明：取AB中点H，连结GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD，又FH∩GH＝H，∴平面FHG∥平面BCD，∴GF∥平面BCD.专题二十一│要点热点探究(3)分析可知，R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面BDC.证明如下：取BD中点Q，连结DR、BR、CR、CQ、RQ，容易计算CD＝2，BR＝52，BD＝22，CR＝132，DR＝212，CQ＝2，在△BDR中，∵BR＝52，DR＝212，BD＝22，可知RQ＝52，∴在△CRQ中，CQ2＋RQ2＝CR2，∴CQ⊥RQ，又在△CBD中，CD＝CB，Q为BD中点∴CQ⊥BD，又BD∩RQ＝Q，∴CQ⊥平面BDR，∴平面BDC⊥平面BDR.规律技巧提炼专题二十一│规律技巧提炼1．点到平面距离的常见求解方法有以下几个方法：(1)直接法：过点作直线垂直平面，点与垂足间的距离即为点到平面的距离．(2)转化法：如果点到平面的射影不易找到，可以寻找过已知点的且平行于已知平面的直线上的点来求解；或者用等体积法求解．2．在研究图形翻折问题时，应该先研究位于折痕两侧的线段长度和角度的值，以及翻折后发生的变化，不过这类问题在研究时，翻折前后的图形已经给出，降低了对图形想象的要求．3．在研究存在性问题时，如果直接可以判断点或线所在的位置，可以直接写出并证明；如果不能够判断，可采取分析法即假设有这样的位置关系，根据性质定理得到点或线所在位置，再进行证明．专题二十一│江苏真题剖析江苏真题剖析例[2010·江苏卷]如图21－5，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．图21－5【解答】(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC，又∠BCD＝90°，即CD⊥BC，所以BC⊥平面PCD，故PC⊥BC.专题二十一│江苏真题剖析【分析】本题第(2)问中求点到平面的距离，由于本题中点A到平面PBC的距离不易直接作出，可以考虑转移点的位置如方法一，或者构造三棱锥，利用等体积转化求距离．(2)方法一：分别取AB、PC的中点E、F，连结DE、DF，易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由(1)知BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD，因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC.易知DF＝22，故点A到平面PBC的距离等于2.方法二：设点A到平面PBC的距离为h，等体积法VA－PBC＝VP－ABC，即S△PBC·h＝S△ABC·PD，12·1·2·h＝12·2·1·1⇒h＝2，故点A到平面PBC的距离等于2.专题二十一│江苏真题剖析专题二十一│江苏真题剖析如图21－6，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4，G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.(1)求证：AG⊥平面PCD；(2)求证：AG∥平面PEC；(3)求点G到平面PEC的距离．图21－6专题二十一│江苏真题剖析【解答】(1)证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，又PD⊥AG，PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD.(2)证明：作EF⊥PC于F，因平面PEC⊥平面PCD，∴EF⊥平面PCD，又由(1)知AG⊥平面PCD，∴EF∥AG，又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，∴AG∥平面PEC.(3)设点G到平面PEC的距离为h，由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等，由(2)知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD，∴AE∥平面PCD，∴AE∥GF，∴四边形AEFG为平行四边形，∴AE＝GF，PA＝AB＝4，G为PD中点，FG綊12CD，∴FG＝2，∴AE＝FG＝2，∴VP－AEC＝13×12×2×4×4＝163，又EF⊥PC，EF＝AG＝22，PC＝CD2＋PD2＝43，∴S△EPC＝12PC·EF＝12×43×22＝46，又VP－AEC＝VA－PEC，∴13S△EPC·h＝163，即46h＝16，∴h＝263.∴点G到平面PEC的距离为263.专题二十一│江苏真题剖析