傅里叶变换超详细总结

“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权””””————————傅里叶的第一个主要论点““““非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示””””————————傅里叶的第二个主要论点频域分析：傅里叶变换，自变量为jjjjΩΩΩΩ复频域分析：拉氏变换，自变量为S=S=S=S=σσσσ+j+j+j+jΩΩΩΩZZZZ域分析：ZZZZ变换，自变量为zzzz傅立叶级数是一种三角级数，它的一般形式是)sincos(10tnbtnaAnnnωω++∑∞=将周期性的((((非正弦的))))波,,,,用一系列的正弦波的迭加来表示,,,,然后对每一项正弦波进行分析,,,,因此提出了把周期函数f(x)f(x)f(x)f(x)展开成三角级数00001111()sin()()sin()()sin()()sin()nnnnnnnnnnnnftAAntftAAntftAAntftAAntωϕωϕωϕωϕ∞∞∞∞=====++=++=++=++∑∑∑∑00001111(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)nnnnnnnnnnnnAantbntAantbntAantbntAantbntωωωωωωωω∞∞∞∞=====++=++=++=++∑∑∑∑为了讨论如何把周期函数展开成三角级数，首先考虑三角函数系为了讨论如何把周期函数展开成三角级数，首先考虑三角函数系为了讨论如何把周期函数展开成三角级数，首先考虑三角函数系为了讨论如何把周期函数展开成三角级数，首先考虑三角函数系的正交性。的正交性。的正交性。的正交性。{{{{}}}}1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,1,cos,sin,cos2,sin2,,cos,sin,ttttntntttttntntttttntntttttntntωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯正交性::::不同的基本单位向量的点积((((内积))))等于零,,,,而相同的基本单位向量不等于零∫=badxxBxA0)()(把一个函数如A(x)A(x)A(x)A(x),设想为一个具有无限个分量的向量((((即无限维向量),),),),这时每一分量的值,,,,可以通过把某个区间(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)内的xxxx的特殊值代入而得到....在这种情况下,,,,自然可以定义两个函数A(x)A(x)A(x)A(x)和B(x)B(x)B(x)B(x)在区间(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)上是正交的,,,,若对于单位向量对于单位向量对于单位向量对于单位向量A,A,A,A,若若若若AAAA····A=AA=AA=AA=A2222=1,=1,=1,=1,则称此向量为规范化向量则称此向量为规范化向量则称此向量为规范化向量则称此向量为规范化向量....扩充这个概念扩充这个概念扩充这个概念扩充这个概念,,,,若若若若2222[()()][()]1[()()][()]1[()()][()]1[()()][()]1bbbbbbbbaaaaaaaaAxAxdxAxdxAxAxdxAxdxAxAxdxAxdxAxAxdxAxdx⋅==⋅==⋅==⋅==∫∫∫∫∫∫∫∫我们就说我们就说我们就说我们就说A(x)在区间在区间在区间在区间(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)是规范化的是规范化的是规范化的是规范化的((((或归一化的或归一化的或归一化的或归一化的).).).).综上所述综上所述综上所述综上所述,,,,考虑一个函数集合考虑一个函数集合考虑一个函数集合考虑一个函数集合{{{{}}}}(),1,2,3,,(),1,2,3,,(),1,2,3,,(),1,2,3,,kkkkxkxkxkxkφφφφ====⋯⋯⋯⋯2222()()0,,()()0,,()()0,,()()0,,()1,1,2,3,.()1,1,2,3,.()1,1,2,3,.()1,1,2,3,.bbbbmnmnmnmnaaaabbbbmmmmaaaaxxdxmnxxdxmnxxdxmnxxdxmnxdxmxdxmxdxmxdxmφφφφφφφφφφφφ=≠=≠=≠=≠========⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫⋯⋯⋯⋯上面两式可以合并写为上面两式可以合并写为上面两式可以合并写为上面两式可以合并写为0,0,0,0,()(),()(),()(),()(),1,1,1,1,bbbbmnmnmnmnmnmnmnmnaaaamnmnmnmnxxdxxxdxxxdxxxdxmnmnmnmnφφδφφδφφδφφδ≠≠≠≠⎧⎧⎧⎧====⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩∫∫∫∫克朗内克符号克朗内克符号克朗内克符号克朗内克符号三角函数系也有类似的性质三角函数系也有类似的性质三角函数系也有类似的性质三角函数系也有类似的性质....这个函数系中的每一个函数的周期是这个函数系中的每一个函数的周期是这个函数系中的每一个函数的周期是这个函数系中的每一个函数的周期是,,,,记为记为记为记为....并有下并有下并有下并有下面的关系式面的关系式面的关系式面的关系式::::2222ππππωωωω2222TTTTππππωωωω====222222220,0,0,0,coscoscoscoscoscoscoscos,,,,2222TTTTTTTTmnmnmnmnmtntdtmtntdtmtntdtmtntdtTTTTmnmnmnmnωωωωωωωω−−−−≠≠≠≠⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪====⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩∫∫∫∫222222220,0,0,0,sinsinsinsinsinsinsinsin,,,,2222TTTTTTTTmnmnmnmnmtntdtmtntdtmtntdtmtntdtTTTTmnmnmnmnωωωωωωωω−−−−≠≠≠≠⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪====⎨⎨⎨⎨====⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩∫∫∫∫22222222sincos0sincos0sincos0sincos0TTTTTTTTmtntdtmtntdtmtntdtmtntdtωωωωωωωω−−−−====∫∫∫∫22222222222222221sin1cos01sin1cos01sin1cos01sin1cos0TTTTTTTTTTTTTTTTntdtntdtntdtntdtntdtntdtntdtntdtωωωωωωωω−−−−−−−−⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=∫∫∫∫∫∫∫∫这里这里这里这里,1,2,3,.,1,2,3,.,1,2,3,.,1,2,3,.mnmnmnmn====⋯⋯⋯⋯可用三角函数积化和差的可用三角函数积化和差的可用三角函数积化和差的可用三角函数积化和差的公式证明公式证明公式证明公式证明函数的傅立叶级数展开设f(x)是周期为T的函数，我们先从形式上把它展成三角级数00001111()(cossin),()(cossin),()(cossin),()(cossin),2222nnnnnnnnnnnnaaaafxantbntfxantbntfxantbntfxantbntωωωωωωωω∞∞∞∞=====++=++=++=++∑∑∑∑2222TTTTππππωωωω====00002222aaaa0000,,(),,(),,(),,()nnnnnnnnaabftaabftaabftaabft将上述展开式两边同乘以将上述展开式两边同乘以将上述展开式两边同乘以将上述展开式两边同乘以,,,,再在区间再在区间再在区间再在区间上积上积上积上积分分分分,,,,由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得coscoscoscosktktktktωωωω,,,,22222222TTTTTTTT⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此处的角频率....第一项写成,,,,完全是为了下面能有统一的公式....现在来考察三角级数的系数和有什么联系....22222222()cos()cos()cos()cosTTTTTTTTftktdtftktdtftktdtftktdtωωωω−−−−∫∫∫∫22222222222200001111222222222222cos(coscoscossin)cos(coscoscossin)cos(coscoscossin)cos(coscoscossin)2222TTTTTTTTTTTTnnnnnnnnnnnnTTTTTTTTTTTTaaaaktdtaktntdtbktntdtktdtaktntdtbktntdtktdtaktntdtbktntdtktdtaktntdtbktntdtωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω∞∞∞∞====−−−−−−−−−−−−=++=++=++=++∑∑∑∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫22222222coscoscoscoscoscoscoscosTTTTkkkkTTTTaktktdtaktktdtaktktdtaktktdtωωωωωωωω−−−−====∫∫∫∫2222kkkkTTTTaaaa=⋅=⋅=⋅=⋅于是于是于是于是222222222222()cos(1,2,).()cos(1,2,).()cos(1,2,).()cos(1,2,).TTTTkkkkTTTTaftktdtkaftktdtkaftktdtkaftktdtkTTTTωωωω−−−−========∫∫∫∫⋯⋯⋯⋯同样将上述展开式两边同乘以同样将上述展开式两边同乘以同样将上述展开式两边同乘以同样将上述展开式两边同乘以,,,,再在区间再在区间再在区间再在区间上积分上积分上积分上积分,,,,由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得由三角函数的正交性得sinsinsinsinktktktktωωωω,,,,22222222TTTTTTTT⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦222222222222()sin(1,2,).()sin(1,2,).()sin(1,2,).()sin(1,2,).TTTTkkkkTTTTbftktdtkbftktdtkbftktdtkbftktdtkTTTTωωωω−−−−========∫∫∫∫⋯⋯⋯⋯另外另外另外另外,,,,展开式两端在展开式两端在展开式两端在展开式两端在上积分有上积分有上积分有上积分有,,,,22222222TTTTTTTT⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ttttddddttttnnnnaaaattttddddaaaattttddddttttffffnnnnTTTTTTTTnnnnTTTTTTTTTTTTTTTT∑∑∑∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∞∞∞∞====−−−−−−−−−−−−++++====11112222222222222222000022222222coscoscoscos((((2222))))((((ωωωω))))sinsinsinsin22222222ttttddddttttnnnnbbbbTTTTTTTTnnnn∫∫∫∫−−−−++++ωωωωTTTTaaaa⋅⋅⋅⋅====22220000于是得于是得于是得于是得∫∫∫∫−−−−====222222220000))))((((2222TTTTTTTTttttddddttttffffTTTTaaaa这样便得到了函数这样便得到了函数这样便得到了函数这样便得到了函数f(t)f(t)f(t)f(t)与系数与系数与系数与系数之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系,,,,也就是系数的计算公式也就是系数的计算公式也就是系数的计算公式也就是系数的计算公式::::))))3333,,,,2222,,,,1111((((,,,,,,,,0000⋯====nnnnbbbbaaaaaaaannnnnnnn∫−=220)(2TTtdtfTa););););3333,,,,