函数中任意性与存在性问题

函数中的任意性和存在性问题阳新高中徐忠星212121()ln101()1151()2[,1]3262,[1,](1),()()afxaxxxafxgxxaxaaxxmmfxgxm(10山东21改编）已知函数（1）若，讨论的单调性；（2）设，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.15:22:5312122[1,],[1,](1),()()xmxmmfxgx变式：不等式恒成立12123[1,],[1,](1),()()xmxmmfxgx变式：不等式恒成立12121[1,],[1,](1),()()xmxmmfxgx变式：不等式恒成立15:22:532013高考中的热度全国I理11，21，24文12，24全国II理21文12全国大纲理9，22文11山东理21文21北京理18天津理20辽宁理21文21湖北理10文10重庆理16121212121212113()(ln),()11.()0,().()0,()2211.()0,().()0,()22afxxxaxxxxxAfxfxBfxfxCfxfxDfxfx例（湖北10）已知为常数，函数有两个极值点，则15:22:531212'()ln(21)0,,(0,),ln21.fxxaxxxxxxax分析：有两根条件等价于使得ln21.yxyax与图象有两交点15:22:53xyO1x2x211ln1(1,0)021(0,)2yaxyyxaa解析：由分析,直线在与在处的切线之间，12121(,)'()ln(21)0,()xxxxfxxaxfx由图易知，且在上，单调递增,11121212()1(),(1)1(0),()()()0,1().2fxffxfaafxafxfxafxa（）即22,0,213I11()ln(1),0.|()|,.(,0].(,1].[2,1].[2,0]xxxfxxxfxaxaABCD例（全国卷）已知函数若则的取值范围是（）|()|fx分析：直线始终在的图象下方，除原点再无交点.15:22:532|()|2(0)'(0)2,20yaxxfxxxxfa解析：由分析可知，直线在轴与图象在原点处的切线之间，斜率.数形结合法方法反思：数形结合法：若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。15:22:53分离参数法15:22:53322121(,)'()0.2xaxxfxx分析：问题等价于对，恒成立2113()(,)2.[1,0].[1,).[0,3].[3,)fxxaxxaABCD例（13全国大纲理9）若函数在是增函数，则的取值范围是（）32112(,)2xxax对，恒成立.3max2112(,)()2xxax对，.3max23224max112(,)()2122(1)(),'()0,'()0().11()()3.22xxaxxxxgxgxxxxgxgxxgxga解析：由分析知，条件等价于对，令则显然，当时，单调递减当时,方法反思：分离参数法：利用分离参数法来确定不等式，（，为实参数）任意性和存在性问题中参数的取值范围。15:22:53,0fxDx适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。322340820()(1)132'()1(0,)afxxxaxafxxxaax例（安徽文）已知函数，其中为实数。（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围.(节选)主参换位法15:22:532(1)220(0,)axxaax分析:问题等价于对都成立，如果把当做参数会怎样呢？2223(1)1(0,)(1)220(0,)axxaxxaaaxxaa解析:由题设知,对都成立，即对都成立。222min()(2)2,()(0,)(0,)()0()(0)20[2,0].gaxaxxgaagagagxxx设则在上单调递增。所以对，恒成立等价于解得：方法反思：主参换位法：某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或容易分离，但函数的最值却难求可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。15:22:53构造函数法2I()42()(22)2()()xfxxxgxexxfxkgxk例5（13全国21）设函数，.（2）若时，，求的取值范围.(节选)15:22:532max()()()42(22)(2,),()0xkFxfxkgxxxexxFx分析：参数易分离，但是分离之后得到的新函数最值很难求出。而的单调性可由导数分析得出。由此，问题可转化为:对恒成立。2max()()()42(22),(),(2,),()0'()2(2)(1),()xxFxfxkgxxxkexxRxFxFxxkexR解析：令由题知，对恒成立。1)0,(0)2(1)0xkFke若与题不符.2)0,'()2(2)(1)0,2lnxkFxxkexk若令解得：或；22maxI2ln'()2(2)(1)0[2,][2,)()(2)2(1)0,xkkeFxxkexFxFke若，即，此时，在上成立.在上,不符.22max222II2ln[2,)()ln;()(ln)(ln1)10,1,1.kkeFxkFxFkkkekeke若，即，此时，在上,有唯一的极大值点解得：又，2222max2I,II1III[2,]'()2(2)(1)0,()()(2)00,[1,].xkekekexFxxeFxFxFke不符题意；，符合题意；，对在该区间单调递减.符合题意.综上，0(0)2(1)01.Fkek方法反思：构造函数法：某些任意性存在性问题，需要解决函数的最值或值域，而没有简便快捷方法时，我们可以尝试构造新函数，结合导数分析法，最值定位法，探究函数性质，最终解决问题。15:22:53任意性存在性问题转化归纳15:22:5315:22:531.不同函数，不同变量1212(1),,()()xAxBfxgx成立1max2min()()fxgx1212(2),,()()xAxBfxgx成立1min2min()()fxgx1212(3),,()()xAxBfxgx成立1min2max()()fxgx1212(4),,()()xAxBfxgx成立1max2max()()fxgx15:22:532.不同函数，相同变量(1),()()xAfxgx成立max[()()]0fxgxmin[()()]0gxfx(2),()()xAfxgx成立min[()()]0fxgxmax[()()]0gxfx15:22:533.相同函数，不同变量1212,,|()()|xxAfxfxM成立maxmin()()fxfxM15:22:534.不同函数，相等关系(1),()()xAfxgx()()yfxgx有零点1212(2),,()()xAxBfxgx成立{()|}{()|}fxxAgxxB1212(3),,()()xAxBfxgx成立{()|}{()|}fxxAgxxB15:22:531.不同函数，不同变量（分别考虑）3.相同函数，不同变量（考查最值差）2.不同函数，相同变量（构造函数）4.不同函数，相等关系（考查值域）任意性存在性问题分类总结：求原函数的最值求新函数的最值利用函数图象隐性问题显性问题研究最值结束15:22:53转化化归思想数形结合思想分类讨论思想构造函数法数形结合法导数分析法导数分析法分离参数法主参换位法过程与思想方法分离参数法主参换位法(073.1.||1.|,1||1).|xRxaAaxaBaCaDa练习1：安徽理科若对任意不等式恒成立，则实数的取值范围是()15:22:53322230722()9cos48cos18sin()'(),(1cos)0,(3sin)0()[26,6]()11fxxxxgxfxtgtgtfxmfxxmxx练习（辽宁文）已知函数，且对任意的实数均有.（1）求函数的解析式；（2）若对任意的，恒有，求的取值范围.走近高考2II2()1.(,).(2,).(0,).(1,)xxxaaABCD练习（13全国文12）若存在正数使成立，则的取值范围是（）15:22:53