高中数学常见的函数问题总结

第一部分函数与导数一、2014年“考试说明”中关于“函数与导数”的考查要求2．函数的概念与基本初等函数Ⅰ：函数的概念(B)，函数的基本性质(B)，指数与对数(B)，指数函数的图象与性质(B)，对数函数的图象与性质(B)，幂函数(A)，函数与方程(A)，函数模型及其应用(B).9．导数及其应用：导数的概念(A)，导数的几何意义(B)；导数的运算(B)，利用导数研究函数的单调性与极值(B)；导数在实际生活中的应用(B).二、——四年新课程卷的命题规律1.“重点知识重点考查，重点知识均衡考查”;2.从函数类型看，一次函数，二次函数(含参，含绝对值等)，三次函数(含参)，简单的分式函数，与y＝lnx或y＝ex组合(用于函数综合题)以及分段函数(一定有)等.3．分量重，约有40分左右，占总分值的四分之一；难度分布广，易、中、难都有，而试卷的难度“制高点”之一都是函数；4．围绕基本初等函数，主要考查函数的单调性与奇偶性、最值、图象等；函数与方程，分类讨论，数形结合，等价转化等数学思想都有所涉及.二、——新课程卷的命题规律高考常考查以下几种函数：（1）)0()(axaxxf型;(2)dcxbaxxf)(;(3)cbxaxnmxxf2)(;(4))()()()()()()(xhxgxhxhxgxgxf;(5)dcxbxaxxf23)(（6）||yxa与y＝lnx组合，如广东(19)：f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x(a0)；福建(22)：f(x)＝－ax＋b＋axlnx(a0)；湖南(22)：f(x)＝x－1x－alnx(aR)；又如：与y＝ex组合，安徽(18)：f(x)＝ex1＋ax2(a0)；北京(18)：f(x)＝(x－k)ex；三次函数如，天津(19)：f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1(tR)；江西(20)：f(x)＝13x3＋mx2＋nx；其它如，山东(17)应用题(分式函数)，上海(21)：f(x)＝a·2x＋b·3x．对导数的研究都落实到二次函数上！安徽(18)：f(x)＝ex1＋ax2(a0)，f(x)＝ex·1＋ax2－2ax(1＋ax2)2，求导后一定能从导数中“分离”出ex湖南(22)：f(x)＝x－1x－alnx(aR)，f(x)＝x2－ax＋1x2，要高度重视(强调)二次函数！三、解题中常见的词语及转化方法（1）方程axf)(有解)(xfa的值域;（2）不等式axf)(恒成立min)(xfaＡ（3）不等式axf)(有解存在Rx，使axf)(成立max)(xfaB.(1)若对任意的12,[1,]xxe，都有12()()fxgx成立，则()fx的最小值不小于()gx的最大值(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值12,xx，都有12|()()|,fxfxc则12maxmaxmin|()()|()()cfxfxfxfx(3)若对1[2,2],x总存在0[2,2]x，使10()()fxgx成立，则()fx的值域是()gx值域的子集(4)若不等式()()fxgx恒成立，则函数()()()hxfxgx的最小值0（5）若在某区间上至少存在一个实数0x，使00()()fxgx成立，则不等式()()0fxgx在某区间上有解（6）若存在12,[1,1],xx使得12()()fxgx成立，则()fx的最小值小于()gx的最大值四、真题例析1.(07广东)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N是．说明：考查分式函数、对数函数的定义域及集合的运算．2.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____.1.3．已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为___.（-1，1）1(,)2344.定义在D上的函数f(x)，如果满足：任意x∈D，存在常数A，都有|f(x)|≤A成立，则称函数f(x)是D上的“有界函数”，下列函数中：①f(x)＝2sinx；②f(x)＝1－x2；③f(x)＝1－2x；④f(x)＝xx2＋1．其中是“有界函数”的是（写出所有满足要求的序号）．考查函数的整体性质，根据已有的性质考查新的性质．①②④5：(07海南、宁夏）设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是偶函数，则a的值是．利用偶函数的定义解决问题，用特值法解决时一般要注意检验．6.在y＝2x，y＝log2x，y＝x2，y＝cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f(x1＋x22)＞f(x1)＋f(x2)2恒成立的函数的个数是．考查函数的凹凸性，在教材的习题中有所体现．2个a=-17.（山东卷理科第9题）x(年)468…y＝ax2＋bx＋c(万元)7117…8.一辆中型客车的营运总利润y(单位：万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系如下表所示：则客车的运输年数为_______时，该客车的年平均利润最大．主要问题：审题不到位！59.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则f(2)＝______．解：因为f’(x)＝3x2＋2ax＋b，所以f’(1)＝0．所以3＋2a＋b＝0，1＋a＋b＋a2＝10.解得a＝4或－3．当a＝4时，b＝5，满足题意，f(2)＝18;当a＝－3时，b＝3，但f’(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，不符合题意，舍去．一定要检验！可导函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件是f’(x0)＝0．10.（山东卷理科第16题）11.（辽宁卷文科第16题）12.2011年台湾区第二次高考数学甲卷试题：第一部分(4)：设f为实系数三次多项式函数.已知五个方程式的相异实根个数如下表所述：方程式相异实根的个数f(x)－20＝01f(x)－10＝03f(x)＝03f(x)＋10＝01f(x)＋20＝01关于f的极小值，试问下列哪一个选项是正确的？(1)不存在(2)－20＜＜－10(3)－10＜＜0(4)0＜＜10(5)10＜＜20(3)13.（2011年江苏卷第12题）14.安徽(18)：函数f(x)＝ex1＋ax2(a0)为R上的单调函数，求参数a的取值范围.处理“恒成立求参数范围”有两个基本途径分析：.)1(1)(222axaxaxexfx因)(xf为R上的单调函数，所以)(xf在R上不变号，又由a0知0122axax在R上恒成立，因此,0)1(4442aaaa解得.10a15.已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．解：若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0．（1）当y＝f(x)在区间[－1，1]上有惟一的零点时，①f(－1)·f(1)≤0，(a－1)(a－5)≤0，即1≤a≤5，经检验1≤a＜5；②设△＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72，a＝－3－72满足题意．（2）当y＝f(x)在区间[－1，1]上有两个的零点时，△＝8a2＋24a＋4＞0，－1＜－12a＜1，af(－1)≥0，af(1)≥0．解得a≥5或a＜－3－72．综上，a≥1或a≤－3－72，即a∈(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)．另解：a＝0时，不符合题意，所以a≠0．∴f(x)＝2ax2＋2x－3－a＝0在[－1，1]上有解(2x2－1)a＝3－2x在[－1，1]上有解1a＝2x2－13－2x在[－1，1]上有解．问题转化为求函数y＝2x2－13－2x在[－1，1]上的值域．设t＝3－2x，x∈[－1，1]，则2x＝3－t，t∈[1，5]，y＝12·(t－3)2－2t＝12(t＋7t－6)．设g(t)＝t＋7t，g‘(t)＝1－7t2，t∈(1，7)时，g‘(t)＜0，此函数g(t)单调递减；t∈(7，5)时，g‘(t)＞0．此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[7－3，1]．∴1a∈[7－3，1]，即a∈(－∞，－3－72]∪[1，＋∞)．说明：分离参变量，转化为求新函数的值域．第二部分三角函数要求内容ABC三角函数的有关概念√同角三角函数的基本关系式√正弦函数、余弦函数的诱导公式√正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质√函数y=Asin(x+)的图象和性质√两角和（差）的正弦、余弦及正切√二倍角的正弦、余弦及正切√3．基本初等函数Ⅱ（三角函数）、三角恒等变换积化和差、和差化积及半角公式√4．解三角形正弦定理、余弦定理及其应用√一、基本要求二、备考要点及注意事项•1、重视基础教学：•2、强调常规通法：•3、规范答题书写：1.两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式升（降）幂公式：21cos2sin2、21cos2cos2、1sincossin22；辅助角公式：22sincossin()abab（由,ab具体的值确定）正切公式的变形：tantantan()(1tantan).熟悉以下基础知识2.若函数)sin()(xAxf是偶函数，则=_______;,()2kkZ若函数)sin()(xAxf是奇函数，则=______.,()kkZ3.三角形中的常见结论（1）ABC中，sinsinABAB（2）ABC中,sin2A=sin2B时，ABC的形状是__________;(3)0tanAtanB1时，ABC的形状是__________;（4）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立吗？（5）若ABC是锐角三角形，你有何想法？•三角函数部分存在的问题主要如下：•①三角公式记忆不到位；•②三角变换目标意识不强；•③角的范围考虑不到位；•④综合应用能力差。常见问题三、基本题型•基本题型一：三角函数基础知识题，以考查三角函数的基本性质(符号、求值、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主．•基本题型二：经过简单的三角恒等变形、化简后，再求值或研究性质．•基本题型三：综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质．•基本题型四：三角函数的图像变换与解析式．•基本题型五：三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用．四、复习策略1.突破重、难点变名化切为弦，个别情况化弦为切转化为特殊角用已知角表示所求角变角变结构1、见“1±cosα,1±sinα”,要消12、见到高次要想到降幂3、见sinα·cosα和sinα±sinα，要想到互化；4、见齐次式，要想到可化正切；5、见tanα±tanβ、tanα·tanβ要想到两角和与差的正切公式6、见到分式，想通分，使分母最简例如：1.求sin(2)sin(2)63yxx的最值。分析1：sin(2)cos(2),36xx1sin(2)cos(2)sin(4)6623yxxx2.求cos()sin(2)66yxx的最值。分析2：2sin(2)cos(2)2cos()1636xxx，22cos()cos()166yxx(0,),(0,)24sin()512cos13sinsin[()]，，从数学形式的转换和过程中明晰解题思路)0(cossinsin)(2aaxaxaxxf2),(00yxA)(xfy0x2例1若函数的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若点是图象的对称中心，且[0,]，求点A的坐标．本题有四个“形式的转换”在此过程中明晰解题思路2.学会分析转化)0(cossinsin)(2aaxaxaxxf降幂21)42sin(22axy