二元一次不等式组及平面区域

课前探究学习课堂讲练互动了解二元一次不等式的几何意义．会画二元一次不等式表示的平面区域．4.1二元一次不等式(组)与平面区域§4简单线性规划【课标要求】【核心扫描】准确判断二元一次不等式表示的平面区域．(重点)画出二元一次不等式表示的平面区域．(难点)和直线方程、二元一次方程、不等式联系密切．1．2．1．2．3．课前探究学习课堂讲练互动二元一次不等式表示平面区域一般地，直线l：Ax＋By＋C＝0把直角坐标平面分成了三个部分：(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C＝0；(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C＞0；(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足Ax＋By＋C＜0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从_____________值的正负、即可判断不等式_______________.自学导引1．Ax0＋By0＋C表示的平面区域课前探究学习课堂讲练互动一般地，把直线l：Ax＋By＋C＝0画成实线，表示平面区域_____这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域________这一边界．二元一次不等式组表示平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的_____，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分．想一想：若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的同侧或两侧应满足什么条件？提示若直线l：Ax＋By＋C＝0，记f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则包括不包括交集2．课前探究学习课堂讲练互动二元一次不等式表示平面区域需注意的问题(1)平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示，二元一次不等式表示的平面区域就是二元一次不等式的几何表示；(2)用二元一次不等式确定平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0时)验证．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式表示平面区域的公共部分．平面区域的画法及判定方法(1)画平面区域的步骤：①画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)；名师点睛1．2．课前探究学习课堂讲练互动②定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧，常用的特殊点(0,0)、(±1,0)、(0，±1)．③求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式所表示的平面区域．俗称“直线定界，特殊点定域”．(2)判定平面区域的方法：一般地，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)把平面分成三部分，两个区域：Ax＋By＋C＞0(B＞0)和Ax＋By＋C＜0(B＜0)表示直线上方的平面区域；Ax＋By＋C＞0(B＜0)和Ax＋By＋C＜0(B＞0)表示直线下方的平面区域．特别地，若直线为y＝kx＋b，(k≠0)，则y＞kx＋b表示直线上方的平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的平面区域．课前探究学习课堂讲练互动题型一二元一次不等式表示的区域画出下面二元一次不等式表示的平面区域(1)x－2y＋4≥0；(2)y＞2x【例1】解(1)设F(x，y)＝x－2y＋4，画出直线x－2y＋4＝0，∵F(0,0)＝0－2×0＋4＝4≥0，∴x－2y＋4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，包括边界．课前探究学习课堂讲练互动(2)设F(x，y)＝y－2x，画出直线y－2x＝0，∵F(1,0)＝0－2×1＝－2＜0，∴y－2x＞0(即y＞2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，不包括边界．课前探究学习课堂讲练互动规律方法画二元一次不等式表示平面区域时，先画直线，当不等式中含有等号时画成实线，不含等号时画成虚线，然后把原点坐标代入不等式检验，成立时原点所在一侧的半平面为所求平面区域，不成立时，另一侧的半个平面为所求作的平面区域，当原点正好在所画直线上时，另外选一个特殊点如(0,1)或(1,0)代入不等式检验即可，得到的平面区域需要画成阴影表示．课前探究学习课堂讲练互动画出下列不等式表示的平面区域(1)2x＋y－10＜0；(2)y≤－2x＋3.解(1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点(0,0)代入2x＋y－10，有2×0＋0－10＝－10＜0，∴2x＋y－10＜0表示的区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域，如图(1)所示．【训练1】课前探究学习课堂讲练互动(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0，首先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)，取点(0,0)，代入2x＋y－3，有2×0＋0－3＝－3＜0，∴2x＋y－3＜0表示平面区域是直线2x＋y－3＝0的左下方的平面区域．∴2x＋y－3≤0表示的区域是直线2x＋y－3＝0以及左下方的平面区域．如图(2)所示．课前探究学习课堂讲练互动[思路探索](1)三个不等式均含有等号；(2)直线x＝3与x轴垂直．解答本题可先分别画出不等式①②③表示的平面区域，再找它们的公共部分．【例2】题型二不等式组表示的区域画出不等式组x－y＋1≥0①3x＋2y－6≥0②x－3≤0③表示的平面区域．课前探究学习课堂讲练互动解如图所示．不等式①表示直线x－y＋1＝0的右下方(包括直线)的平面区域；不等式②表示直线3x＋2y－6＝0的右上方(包括直线)的平面区域；不等式③表示直线x－3＝0左方(包括直线)的平面区域．所以原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．课前探究学习课堂讲练互动规律方法(1)不等式组的解集是各不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)特别要注意不等式是否取等号，虚线、实线不要混淆．课前探究学习课堂讲练互动本例中的三条直线交点设为A，B，C，试用不等式表示如图阴影部分所示的平面区域(直线AC，BC为实线，AB为虚线)．【训练2】解结合本例中的直线方程知阴影部分所表示的二元一次不等式组为x－y＋1≤0，3x＋2y－6＞0，x－3≤0.课前探究学习课堂讲练互动(1)指出x，y的取值范围．(2)平面区域内有多少个整点？审题指导不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．求区域内的整数点，要在给定的平面区域内找且要特别注意区域是否包括边界．【例3】题型三不等式组表示平面区域的应用(本题满分12分)画出不等式组x－y＋5≥0x＋y≥0x≤3表示的平面区域，并回答下列问题；课前探究学习课堂讲练互动[规范解答]不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：课前探究学习课堂讲练互动①当x＝－2时，2≤y≤3⇒y＝2或3，有2个整点．(8分)②当x＝－1时，1≤y≤4⇒y＝1,2,3,4，有4个整点．(10分)③同理当x＝0,1,2,3时，分别有6个、8个、10个、12个整点．所以，所求平面区域里共有(1)由图可得x∈－52，3，y∈[－3,8]．(6分)(2)由图形及不等式组可知：－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，2＋4＋…＋12＝6×2＋122＝42.(12分)课前探究学习课堂讲练互动【题后反思】求不等式组表示的平面区域内的整点坐标的常用方法(1)先确定区域内横坐标的范围，确定x的所有整数值，通过x的值再确定y相对应的整数值．(2)画出网格线求整点，关键是作图要准确．课前探究学习课堂讲练互动【训练3】已知点M(a，b)在由不等式组a＋b≤2，a≥0，b≥0确定的平面区域内，求点N(a＋b，a－b)所在平面区域的面积．解∵点M(a，b)在由a＋b≤2，a≥0，b≥0确定的平面区域内，设N(x，y)，则x＝a＋b，y＝a－b，课前探究学习课堂讲练互动∴x≤2，x＋y2≥0，x－y2≥0，即x≤2，x＋y≥0，x－y≥0.∴点N(a＋b，a－b)，即点N(x，y)所在的平面区域为如图所示阴影部分，其中A(2,2)，B(2，－2)，∴其面积S＝12×4×2＝4.课前探究学习课堂讲练互动[错解]不等式x＞0表示直线x＝0(即y轴)右侧的点的集合，不等式y＞0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合．不等式x＋y－3＜0表示直线x＋y－3＝0右上方的点的集合．故原不等式组表示的平面区域如图阴影部分．误区警示不能正确判断区域而致错【示例】画出不等式组x＞0，y＞0，x＋y－3＜0表示的平面区域．课前探究学习课堂讲练互动利用“直线定界，特殊点定域”的思路进行，这样就不会犯经验主义错误．[正解]不等式x＞0表示直线x＝0(y轴)右侧的点的集合(不含边界)，不等式y＞0表示直线y＝0(x轴)上方的点的集合(不含边界)．不等式x＋y－3＜0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合，所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个次的坐标均满足不等式(组)，常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．