测量误差及其处理

第五章测量误差的基本理论北方工业大学建筑工程学院§5-1概述一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差。这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。二、观测与观测值的分类1．同精度观测和不同精度观测在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。§5-1概述二、观测与观测值的分类2．直接观测和间接观测为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。3．独立观测和非独立观测各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为非独立观测值。(三角形三个内角观测则为非独立观测)§5-1概述三、测量误差及其来源1．测量误差的定义真值：客观存在的值“X”（通常不知道）真误差：真值与观测值之差，即：真误差=真值-观测值2．测量误差的反映测量误差是通过“多余观测”产生的差异反映出来的。测量中不可避免产生误差，如测量某段距离，往返测量若干次，这些重复测量值之间存在差异。这次多余观测导致的差异事实上就是测量误差。3．测量误差的来源（1）测量仪器：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）观测者：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界环境条件：温度变化、风、大气折光等。§5-1概述四、测量误差的种类按测量误差对测量结果影响性质的不同，可将测量误差分为系统误差、偶然误差和粗差。1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校)例：误差处理方法钢尺尺长误差ld计算改正钢尺温度误差lt计算改正水准仪视准轴误差I操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均)…………§5-1概述四、测量误差的种类2．偶然误差在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。3.粗差由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。4、误差处理原则7粗差—细心观测，用多余观测和几何条来件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。§5-1概述四、测量误差的种类§5-1概述四、测量误差的种类几个概念:准确度：(测量成果与真值的差异，取决于系统误差的大小）精（密）度：(观测值之间的离散程度，取决于偶然误差的大小）最或是值：（最接近真值的估值，最可靠值）；测量平差：（求解最或是值并评定精度）。§5-1概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数例如，在相同条件下对某一个平面三角形的三个内角重复观测了358次，由于观测值含有误差，故每次观测所得的三个内角观测值之和一般不等于180°，按下式算得三角形各次观测的真误差i，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§5-1概述d误差区间(‘’)负误差正误差个数相对个数个数相对个数0.0～0.2450.126460.1280.2～0.4400.112410.1150.4～0.6330.092330.0920.6～0.8230.064210.0590.8～1.0170.047160.0451.0～1.2130.036130.0361.2～1.460.01750.0141.4～1.640.01120.0061.6以上00.00000.000总和1810.5051770.495§5-1概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差的四个特性：（1）有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；（3）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；（4）补偿性：在相同条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即0limlim21nnnnn§5-1概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律。§5-1概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数用频率直方图表示的偶然误差统计：当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。正态分布曲线以及标准差和方差14222π21)(eΔfσnΔΔnΔnn][][limlim2nΔnΔΔΔnnn][2222212limlim在统计理论上如果观测次数无限增多(n→∞)，而误差区间dΔ又无限缩小，则频率直方图成为一条光滑的曲线，在统计学中称为偶然误差的“正态分布曲线”,其数学方程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ2称为“方差”,方差为偶然误差(真误差)平方的理论平均值：标准差的计算式：§5-1概述五、偶然误差的特性及其概率密度函数偶然误差处理方式值）靠值，似真值，最或是）求算术平均值（最可（）多余观测（提高仪器等级32)1(§5-2衡量精度的指标一、精度精确度是准确度与精密度的总称。对基本排除系统误差，而以偶然误差为主的一组观测值，用精密度来评价该组观测值质量的优劣。精密度简称精度。二、中误差用标准差衡量测量观测成果的精度，在理论上是严格和合理的。但在实际测量工作中，不可能对某一量进行无穷多次观测。因此，定义：根据有限次观测的偶然误差，用标准差计算式求得的称为“中误差”。§5-2衡量精度的指标二、中误差某观测值真值X已知；（设在相同观测条件下，对任一个未知量进行了n次观测，其观测值分别为、、，n个观测值的真误差、、。为了避免正负误差相抵消和明显地反映观测值中较大误差的影响，通常是以各个真误差的平方和的平均值再开方作为评定该组每一观测值的精度的标准，即m称为中误差，m小--精度高；m大--精度低。n－观测值个数真误差nnmn][222211l2lnl12n22221......n),......2,1(niLXii§5-2衡量精度的指标二、中误差例:设有1、2两个小组，对三角形的内角和进行了9次观测，分别求得其真误差为：1组：2组：试比较这两组观测值的中误差。解：说明1组的观测精度比2组高。783476865,,,,,,,,357474456,,,,,,,,2.69)7()8()3()4()7()6()8()6()5(''2222222222m2.59)3()5()7()4()7()4()4()5()6(''2222222221m21mmm1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两组观测值误差的正态分布曲线的比较：m1=5.2m2=6.2=xΔy　=f(Δ)(Δ)f(Δ)fm1m1m2m212m1m2++--π√22√π1119不同中误差的正态分布曲线§5-2衡量精度的指标§5-2衡量精度的指标三、容许误差根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7demdfPm22221)()(kmkmmdemkmP22221)(§5-2衡量精度的指标三、容许误差将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：P(||m)=0.683=68.3；P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|或|容|=2|m︱§5-2衡量精度的指标四、相对误差(相对中误差)—中误差绝对值与观测量之比。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。解：K2K1，所以距离S2精度较高。500011000201mmK.660012000302mmK.§5-3算术平均值及其中误差（P82）一、算术平均值设在相同的观测条件下，对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为x：nlnlllxn][21§5-3算术平均值及其中误差一、算术平均值证明算术平均值为该量的最或是值：设该量的真值为X，则各观测值的真误差为：当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。nnlXlXlX2211nlXn0nnlimnlXnlimXxnlim0][v§5-3算术平均值及其中误差二、观测值改正数未知量的最或是值x与观测值li之差称为观测值改正数vi，即nnlxvlxvlxv2211][][lnxvnlxnv][][0][v§5-3算术平均值及其中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差nnlXlXlX2211)()()(xXvxXvxXvnn2211nnlxvlxvlxv2211])[()(][][vxXxXnvv222)(][][xXnvv2)(][][xXnvvn§5-3算术平均值及其中误差三、由观测值改正数计算观测值中误差2)(][][xXnvvn222221])[(][)(lnXnnlXxX)222(113121222212nnnn)(][nnnn131212222][][][nnvvnnmnvvm22][1][nvvm2212)...(1nlXlXlXn§5