证明勾股定理的几种常用方法

第1页,共1页证明勾股定理的几种常用方法勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．探究勾股定理的证明，可以加深学生对勾股定理的理解、丰富研究数学问题的方法、激发学习数学的兴趣．证明勾股定理的方法有很多种，最常见的是通过构造一些含有直角三角形的特殊图形，利用面积相等来证明，现举例说明如下：已知Rt△ABC的斜边长为c，两直角边的边长分别为a、b，求证：a2＋b2＝c2．证法1：如图1所示，以Rt△ABC的三条边作边长分别向外作三个正方形，则正方形CDEF与正方形GHMN的面积相等，即S正方形CDEF＝S正方形GHMN．因为S正方形GHMN＝(a＋b)2，S正方形CDEF＝c2＋4×12ab．所以(a＋b)2＝c2＋4×12ab，故a2＋b2＝c2．证法2：用四个Rt△ABC拼成图2所示的图形，则四个直角三角形的直角顶点构成了一个小正方形的四个顶点．观察图形可得出等量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角三角形的面积之和，即c2－(b－a)2＝4×12ab，∴a2＋b2＝c2．说明：用四个Rt△ABC拼成图3所示的图形，借助等量关系：两个正方形的面积之差等于四个直角三角形的面积之和，同样可得出a2＋b2＝c2．证法3：如图4所示，两个全等直角三角形的直角边a、b在同一条直线上，则两直角三角形的斜边相互垂直．由图形可以看出，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和．则S梯形＝12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，∴a2＋b2＝c2．CBAabcGHNDFEM图1abcACB图2abcabcabccbaABC图3aabbcc图4