《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案

1《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案第1章线性规划（复习思考题）1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划（LinearProgramming，LP）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：（1）唯一最优解：只有一个最优点；（2）多重最优解：无穷多个最优解；（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大；（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0ib，决策变量满足非负性。如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。答：可行解：满足约束条件0XbAX，的解，称为可行解。基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。它们的相互关系如右图所示：25．用表格单纯形法求解如下线性规划。32124maxxxxZs.t.0,,86238321321321xxxxxxxxx解：标准化32124maxxxxZs.t.0,,,,862385432153214321xxxxxxxxxxxxx列出单纯形表jc41200iBCBXb1x2x3x4x5x04x2[8]31102/805x8611018/6j4120041x1/413/8[1/8]1/80(1/4)/(1/8)05x13/26－5/41/4－3/41(13/2)/(1/4)j0－1/23/2-1/2023x28311005x6－2－20－11j－12－50－20故最优解为TX)6,0,2,0,0(*，即2,0,0321xxx，此时最优值为4*)(XZ．6．表1—15中给出了求极大化问题的单纯形表，问表中dccaa,,,,2121为何值及变量属于哪一类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）下一步迭代将以1x代替基变量5x；（4）该线性规划问题具有无界解；（5）该线性规划问题无可行解。3表1—15某极大化问题的单纯形表jc1c2c000iBCBXb1x2x3x4x5x03xd41a10004x2－1－501005x32a－3001j1c2c000解：（1）0,0,021ccd；（2）中至少有一个为零）（2121,0,0,0ccccd；（3）22134,0,0adac；（4）0,012ac；（5）1x为人工变量，且1c为包含M的大于零的数，234ad；或者2x为人工变量，且2c为包含M的大于零的数，0,01da．7．用大M法求解如下线性规划。321635maxxxxZs.t.0,,101632182321321321321xxxxxxxxxxxx解：加入人工变量，进行人造基后的数学模型如下：65432100635maxMxxxxxxZs.t.)6,,2,1(0101632182632153214321ixxxxxxxxxxxxxi列出单纯形表4jc53600－MiBCBXb1x2x3x4x5x6x04x1812110018/105x1621[3]01016/3－M6x1011100110/1j5+M3+M6+M00004x38/31/35/301－1/3038/563x16/32/31/3101/3016－M6x14/31/3[2/3]00－1/3114/2jM311M32100M312004x1－1/20011/2－5/2－63x3[1/2]0101/2－1/2632x71/2100－1/23/214j1/2000－3/2M2304x400111－351x610201－132x401－10－12j00－10－2－1－M故最优解为TX)0,0,4,0,4,6(*，即0,4,6321xxx，此时最优值为42*)(XZ．8．A，B，C三个城市每年需分别供应电力320，250和350单位，由I，II两个电站提供，它们的最大可供电量分别为400单位和450单位，单位费用如表1—16所示。由于需要量大于可供量，决定城市A的供应量可减少0～30单位，城市B的供应量不变，城市C的供应量不能少于270单位。试建立线性规划模型，求将可供电量用完的最低总费用分配方案。5表1—16单位电力输电费（单位：元）电站城市ABCI151822II212516解：设ijx为“第i电站向第j城市分配的电量”（i=1,2;j=1,2,3），建立模型如下：232221131211162521221815maxxxxxxxZs.t.3,2,1;2,1,035027025032029045040023132313221221112111232221131211jixxxxxxxxxxxxxxxxxij9．某公司在3年的计划期内，有4个建设项目可以投资：项目I从第一年到第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目II需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150%，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资不得超过20万元；项目III需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资不得超过15万元；项目IV需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？解：设)1(ix表示第一次投资项目i，设)2(ix表示第二次投资项目i，设)3(ix表示第三次投资项目i，（i=1,2,3,4），则建立的线性规划模型为)1(4)1(3)3(14.16.12.1maxxxxZs.t.4,3,2,1,0,,101520302.15.12.1302.130)3()2()1()1(4)1(3)1(2)1(3)2(1)1(2)1(1)1(1)1(2)2(1)1(4)3(1)1(2)1(1)1(1)1(3)2(1)1(2)1(1ixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxiii通过LINGO软件计算得：44,12,0,20,10)2(1)2(1)1(3)1(2)1(1xxxxx．610．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几道重要工序。每种家具的每道工序所用的时间、每道工序的可用时间、每种家具的利润由表1—17给出。问工厂应如何安排生产，使总利润最大？表1—17家具生产工艺耗时和利润表生产工序所需时间（小时）每道工序可用时间（小时）12345成型346233600打磨435643950上漆233432800利润（百元）2.734.52.53解：设ix表示第i种规格的家具的生产量（i=1,2,…,5），则5432135.25.437.2maxxxxxxZs.t.5,,2,1,0280034332395046534360032643543215432154321ixxxxxxxxxxxxxxxxi通过LINGO软件计算得：3181,642,0,254,38,054321Zxxxxx．11．某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过A，B，C三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润如表2—10所示。表1—18产品生产工艺消耗系数甲乙丙设备能力A（小时）111100B（小时）1045600C（小时）226300单位产品利润（元）1064（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划。（2）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到6，求最优生产计划。（3）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？（4）设备A的能力如为100+10q，确定保持原最优基不变的q的变化范围。（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。7解：（1）设321,,xxx分别表示甲、乙、丙产品的生产量，建立线性规划模型3214610maxxxxZs.t.0,,3006226005410100321321321321xxxxxxxxxxxx标准化得6543210004610maxxxxxxxZs.t.0,,,,,3006226005410100654321632153214321xxxxxxxxxxxxxxxxxx列出单纯形表jc1064000iBCBXb1x2x3x4x5x6x04x10011110010005x600[10]450106006x300226001150j106400004x400[3/5]1/21－1/100200/3101x6012/51/201/10015006x18006/550－1/51150j02－10－1062x200/3015/65/3－1/60101x100/3101/6－2/31/6006x100004－201j00－8/3－10/3－2/30故最优解为0,3/200,3/100321xxx，又由于321,,xxx取整数，故四舍五入可得最优解为0,67,33321xxx,732maxZ．8（2）产品丙的利润3c变化的单纯形法迭代表如下：jc1063c000iBCBXb1x2x3x4x5x6x62x200/3015/65/3－1/60101x100/3101/6－2/31/6006x100004－201j003c－20/3－10/3－2/30要使原最优计划保持不变，只要032033c，即67.63263c．故当产品丙每件的利润增加到大于6.67时，才值得安排生产。如产品丙每件的利润增加到6时，此时66.67，故原最优计划不变。（3）由最末单纯形表计算出0611,03210,0611151413ccc，解得1561c，即当产品甲的利润1c在]15,6[范围内变化时，原最优计划保持不变。（4）由最末单纯形表找出最优基的逆为10206/13/206/13/51B，新的最优解为0)20100(32010050200313006001010010206/13/206/13/51qqqqbBXB解得54q，故要保持原最优基不变的q的变化范围为]5,4[．（5）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，则线性规划模型变成3214610maxxx