第6章_电磁场的相干性

1第6章电磁场的相干性电磁场的相干性是电磁场的重要性质之一。本节介绍电磁场相干性的经典理论和量子理论。将引入光子反聚束这一重要的物理概念。6.1经典一阶相干函数一阶相干性反映的是在两个时空点光场幅度之间的关联，即*12ExEx，称为一阶关联函数，其中,1,2iiixrti表示两个时空点。通常引入一阶相干函数：*121122212,ExExxxExEx其中2iEx为在时空点ix光场的强度。下面具体考虑杨氏双缝干涉实验，如图6-1所示。在满足某些条件时，在接收屏上会观测到干涉条纹。设光源的频宽为，两条光程之差为12sss，则当cohss时产生干涉条纹。这里cohs称为光源的相干长度。1cohcohtsc称为相干时间。21r2r1s2sr光源探测器图6-1杨氏双缝干涉实验t时刻在屏上r处的电场来自早些时刻11ttsc和22ttsc在两个狭缝处的电场的叠加，即111222,,,ErtKErtKErt（6-1）其中1K和2K是两个依赖于1s和2s的几何因子。为了简单起见，这里我们假设两个场的偏振方向相同。一般来说，探测器测到的只是平均光强2,IrErt（6-2）这里的平均是对时间平均，即01limTTfftdtT（6-3）根据各态历经假设，时间平均等价于系综平均。由（6-1）式和（6-2）式可得32222111222**121122**121212,,2Re,,2ReIrKErtKErtKKErtErtIIKKExEx（6-4）前两项分别表示来自两个狭缝的光强，而第三项引起干涉效应。在上式中引入了缩写,iiixrt和22iiiIKEx1,2i。定义经典一阶相干函数*121122212,ExExxxExEx（6-5）其中*12ExEx称为经典一阶关联函数。注意到2*2121122212,ExExxxExEx及222*1212ExExExEx，因此有，1120,1xx（6-6）利用iI和112,xx，（6-4）式可以写成*112121212122Re,KKIrIIIIxxKK（6-7）设jijjKKe1,2j，以及12111212,,ixxxxe（6-8）则有1121212122,cosIrIIIIxx（6-9）4其中12表示由光程差引起的位相差。当112,0xx时将产生干涉。根据112,xx的大小可对相干性进行分类：112,1xx（一阶完全相干）（6-10）1120,1xx（一阶部分相干）（6-11）112,0xx（一阶完全不相干）（6-12）定义干涉条纹的对比度（可见度：visibility）：IIVII（6-13）其中11212122,IIIIIxx（6-14）于是有11212122,IIVxxII（6-15）可见，对完全相干光，对比度取极大值12122VIIII，而对完全不相干光，0V。下面考虑经典一阶相干性的几个例子。首先考虑在空间某固定点光场的时间相干性。假设有一束单色平面光沿z方向传播，t时刻和t时刻z处的电场分别为0,ikztEztEe（6-16）0,ikztEztEe（6-17）可求得1112,ixxe（6-18）11（6-19）5因此单色平面光具有完全时间相干性。然而，绝对的单色光是不存在的。我们考虑具有洛仑兹线型的光源，对这种光源22011iFdeF其中0为谱线的中心频率，为谱线（半）宽度。可求得001ie（6-20）0101e（6-21）其中01为相干时间。可见，一般来说，这种光源发出的是部分相干光。这种光场称为混沌光（由大量原子独立辐射的光）。当延迟时间0时，光场趋于完全相干光；当0时，光场趋于完全非相干光。6.2量子一阶相干函数在第二章我们已把量子化的电场分解成所谓的正频部分和负频部分,,,ErtErtErt（6-22）其中,exprkkkkkErteEaitkr，（6-23）,,ErtErt（6-24）从量子光学的观点来看，对光场进行探测的过程对应于探测器吸6收光场光子的过程，即光场光子湮灭的过程，而与光子湮灭算符对应的是电场的正频部分（6-23）式。设光场的初态为i，末态为f，则光场由初态i跃迁到末态f的概率正比于2,fErti（6-25）在实际问题中往往只对探测结果（相当于探测器的末态）感兴趣，而对光场的末态不感兴趣，因此我们将上式对光场的末态求和2,,,,,fffErtiiErtffErtiiErtErti（6-25’）这里利用了完备性条件1fff以及（6-24）式。上式表明，跃迁概率正比于算符,,ErtErt在初态i中的平均值（初态平均）。一般来说，光场初始不一定处于纯态i，而是处于某个统计混合态iiPii，于是，上式可推广为,,,,,,iiPiErtErtiTrErtErtErtErt（6-26）为了方便起见，在下面的讨论中，我们把电场作为标量处理，并利用缩写形式,xrt。定义函数1,IxGxxExExTrExEx（6-27）其物理意义为在时空点,xrt的光强。对前面讨论过的杨氏双缝实验，我们用下式代替（6-1）式［111222,,,ErtKErtKErt］1122ExKExKEx（6-28）则在探测屏上的光强为7122111*1112221212,,,2Re,IxGxxTrExExKGxxKGxxKKGxx（6-29）其中1,ijijijGxxExExTrExEx（6-30）称为量子一阶关联函数。（6-29）式中前两项分别表示来自两个狭缝的光强，而第三项引起干涉效应。类似于经典情况，定义量子一阶相干函数11121212111122,,,,GxxgxxGxxGxx（6-31）它满足1120,1gxx（6-32）类似于经典情况，可以根据112,gxx的大小对相干性进行分类：112,1gxx（一阶完全相干）（6-33）1120,1gxx（一阶部分相干）（6-34）112,0gxx（一阶完全不相干）（6-35）下面考虑量子一阶相干性的几个例子。对单模量子化电磁场，由（6-23）式有0,expErtEaikrt（6-36）其中002EV，这里V为量子化体积。若光场处于光子数态n，则有12200,jjjjGxxnExExnEnaanEn1,2j（6-37）811212202121,expGxxnExExnEnikrrtt（6-38）从而有1122121,expgxxikrrtt，112,1gxx（6-39）若光场处于相干态，则有212200,jjjjGxxExExEaaE1,2j（6-40）112122201212,expGxxExExEikrrtt（6-41）从而也有1122121,expgxxikrrtt，112,1gxx(6-42)可见，当单模量子电磁场处于相干态和光子数态时，均具有一阶的完全相干性，换句话说，只利用一阶相干函数不足以区分具有不同性质的量子态。6.3经典二阶相干函数一阶相干函数是光场幅度之间的关联函数，它只能区分具有不同光谱性质（例如单色光与多色光）的光场，而不能区分具有不同光子统计性质的光场（例如，处于相干态和光子数态的单模光场具有相同的一阶相干函数）。二阶相干性反映的是在两个时空点光场强度之间的关联，即12IxIx，称为二阶关联函数。通常引入下列二阶相干函数来描述光场的二阶相干性：9122122112,;,IxIxxxxxIxIx。下面具体考虑HanburyBrown-Twiss实验。20世纪50年代，HanburyBrown和Twiss实现了一种能够测量光场强度之间关联的实验。其实验如图6-2所示。通常，探测器1D和2D到分束器的距离相等。在这种情况下，实验测量的是在有时间延迟情况下的符合记数率，即一个探测器在t时刻有一次记数，而另一个探测器在t时刻有一次记数的概率。如果延迟时间小于入射光的相干时间0，则该实验可确定入射光的光子统计。符合计数器可变时间延迟器50:50分束器探测器D1探测器D2图6-2HanburyBrown-Twiss实验符合记数率正比于二阶关联函数ItIt，这里It和It分别为两个探测器上的瞬时光强，符号表示时间平均或系综平均。假设场是稳恒的，即关联函数ItIt与两个时刻本身的取值无关，只与两个时刻的延迟有关，则符合记数率正比于如下定义的经10典二阶相干函数**222*EtEtEtEtItItItEtEt（6-44a）其中**ItItEtEtEtEt称为经典二阶关联函数。如果探测器1D和2D到分束器的距离不相等，则经典二阶相干函数定义为**12211221221221212,;,ExExExExIxIxxxxxIxIxExEx（6-44b）如果光场的112,1xx和21221,;,1xxxx均成立，则称光场是二阶相干的。显然，21221,;,1xxxx要求下列分解成立22**122112ExExExExExEx（6-45）即二阶关联函数可分解成两个时空点强度的乘积。值得指出的是，与一阶相干函数受限于101不同，由（6-44a）式可知，二阶相干函数满足20（6-46）当延迟时间0时，（6-44a）式变为2220ItIt（6-47）由于22ItIt，因此有210（6-48）又由于2ItItIt，因此有220（6-49）对于由大量原子独立辐射构成的光源（混沌光源），可以证明，二11阶相干函数与一阶相干函数之间有下列关系2211（6-50）由于101，因此对这类光源有212（6-51）特别是，对于具有洛仑兹线型的光