充分条件和必要条件课件

1．1.3充分条件和必要条件1.1.3课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案学习目标学习目标1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．课前自主学案温故夯基1．命题的结构：若p则q，其中“p”是____，“q”是________．2．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性．(2)两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性____________．条件结论相同没有关系1．充分条件和必要条件“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，记作_______，并且说p是q的_______条件，q是p的________条件．当命题“若p则q”为假命题时，记作pq．在这种情况下，p是q的_______条件，q是p的_______条件．知新益能p⇒q充分必要不充分不必要2．充要条件(1)如果既有______，又有_____，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称______条件．(2)概括地说：如果_______，那么p与q互为充要条件．p⇒qq⇒p充要p⇔q若p是q的充分条件，那么p唯一吗？提示：不唯一．如x3是x0的充分条件，x5，x10等也都是x0的充分条件．思考感悟课堂互动讲练考点一充分、必要条件及充要条件的判断考点突破判断p是q的什么条件，主要是判断若p成立时，能否推出q成立；反过来，若q成立时，能否推出p成立．若p⇒q为真，则p是q的充分条件；若q⇒p为真，则p是q的必要条件．例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)．(1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：函数f(x)＝2x＋1，q：函数f(x)是增函数；(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是等腰三角形；(4)p：αβ，q：sinαsinβ.【思路点拨】只需按充分、必要条件的定义，分析若p成立，q是否成立，再反过来，q成立时，p是否成立．【解】(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0，反过来，若a2＋b2＝0⇒a＋b＝0，所以p是q的必要不充分条件．(2)因为函数f(x)＝2x＋1⇒f(x)是增函数，但f(x)是增函数f(x)＝2x＋1，所以p是q的充分不必要条件．(3)∵p⇒q且q⇒p，∴p是q的充要条件．(4)取α＝150°，β＝30°，αβ，但sin150°＝sin30°，即pq；反之，sin60°sin150°，但60°150°不成立，则qp，所以p是q的既不充分也不必要条件．【名师点评】一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以去证明它的等价命题成立．这里要注意“原命题⇔逆否命题”“否命题⇔逆命题”只是等价形式之一，对于条件和结论是不等关系(否定式)的命题一般应用等价法．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，那么，若A⊆B，则p是q的充分条件，若B⊆A，则p是q的必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．自我挑战1判断下列各题中p是q的什么条件．(1)p：|a|≥2，a∈R，q：方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根；(2)p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1.解：(1)当|a|≥2时，如a＝3时，方程可化为x2＋3x＋6＝0，无实根；而方程x2＋ax＋a＋3＝0有实根，则必有Δ＝a2－4(a＋3)≥0，即a≤－2或a≥6，从而可以推出|a|≥2.综上可知，由q能推出p，而由p不能推出q，所以p是q的必要不充分条件．(2)由“四边形的对角线相等”推不出“四边形是矩形”；而由“四边形是矩形”可以推出“四边形的对角线相等”，所以p是q的必要不充分条件．(3)当x＝1或x＝2时，x－1＝x－1显然成立；而解方程x－1＝x－1，可得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．考点二充要条件的证明(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两个方面进行．此时要特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么．(2)在具体解题时需注意若推出(⇒)关系成立，需严格证明．若推出(⇒)关系不成立，可举反例说明．例2证明：关于x的一元二次不等式x2＋px＋q≤0的解集只有一个元素的充要条件是p2＝4q.【思路点拨】证明充要条件问题，必须分清条件与结论．由“条件”⇒“结论”，是证明命题的充分性；由“结论”⇒“条件”，是证明命题的必要性．【证明】命题中的条件为p2＝4q.必要性：解不等式x2＋px＋q≤0.若Δ＝p2－4q0，则不等式的解集为x－p－Δ2≤x≤－p＋Δ2，不合题意．若Δ0，则x2＋px＋q恒大于0，原不等式的解集为空集，不合题意．所以，不等式x2＋px＋q≤0的解集中只含有一个元素时，Δ＝p2－4q＝0，即p2＝4q.充分性：∵p2＝4q，∴x2＋px＋q＝x2＋px＋p24＝x＋p22≤0，∴x＋p2＝0，即x＝－p2.即原不等式的解集只有一个元素－p2.综上可得：x2＋px＋q≤0的解集只有一个元素的充要条件是p2＝4q.【名师点评】(1)在证明充要条件问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意题目给出的格式，若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”就是p⇒q.若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立，若直接证明不易证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后再加以证明．自我挑战2求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明：充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)∵ac0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac0，∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝ca0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca0，即ac0，综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac0.根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．考点三充分条件、必要条件、充要条件的应用例3(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？(2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？【思路点拨】解答本题可先解出每一个不等式所对应的集合，然后根据集合间的包含关系，求出满足条件的m的值．【解】(1)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，则只要{x|x＜－m2}⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－m2≤－1，即m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．(2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，则只要{x|x＜－m2}⊇{x|x＜－1或x＞3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．【名师点评】本题将充分条件、必要条件的问题，转换为集合之间的包含关系问题，体现了转化与化归的思想，设p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}．现有如下的联系：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p、q互为充要条件若AB，且BA，则p是q的既不充分又不必要条件方法感悟1．充要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证p⇐q，只需证綈q⇐綈p即可．所以p⇔q，只需綈q⇔綈p.(3)利用集合间的包含关系进行判断．2．证明p是q的充要条件应注意的地方(1)首先应分清条件和结论，并不是在前面的就是条件．如若要证“p是q的充要条件”，则p是条件，q是结论；若要证“p的充要条件是q”，则q是条件，p是结论．这是易错点．(2)必要性与充分性不要混淆．必要性是由结论去推条件，充分性是由条件去推结论．(3)充要性的证明必须充分性、必要性同时证，不要只证充分性或只证必要性．