创新设计全国通用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2.2导数与函数的极值最值课件文

第2课时导数与函数的极值、最值考点一用导数研究函数的极值(多维探究)命题角度一根据函数图像判断极值【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)解析由题图可知，当x－2时，1－x3，此时f′(x)0；当－2x1时，01－x3，此时f′(x)0；当1x2时，－11－x0，此时f′(x)0；当x2时，1－x－1，此时f′(x)0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．答案D命题角度二求函数的极值【例1－2】求函数f(x)＝x－alnx(a∈R)的极值．解由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x0知：(1)当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)，f′(x)0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值.命题角度三已知极值求参数【例1－3】已知关于x的函数f(x)＝－13x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－43，试求b，c的值．解∵f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处有极值－43，可得f′1＝－1＋2b＋c＝0，f1＝－13＋b＋c＋bc＝－43.解得b＝1，c＝－1或b＝－1，c＝3.若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，f(x)没有极值．若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋01f(x)极小值－12极大值－43∴当x＝1时，f(x)有极大值－43，满足题意．故b＝－1，c＝3为所求．规律方法(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．【训练1】设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a0)．(1)当a＝1，且函数图像过(0,1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．解由题意得f′(x)＝3ax2－4x＋1.(1)函数图像过(0,1)时，有f(0)＝c＝1.当a＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1.令f′(x)0，解得x13或x1；令f′(x)0，解得13x1.所以函数在－∞，13和(1，＋∞)上单调递增；在13，1上单调递减．故函数f(x)的极小值是f(1)＝13－2×12＋1＋1＝1.(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，故f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．当a＝0时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件；当a≠0时，f′(x)≥0或f′(1)≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥43.综上，a的取值范围是43，＋∞.考点二利用导数求函数的最值【例2】(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．解(1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝k－1.当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，当0k－11，即1k2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；当1k2时，f(x)min＝－ek－1；当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.规律方法求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.【训练2】设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值．解(1)由f(x)＝alnx－bx2，得f′(x)＝ax－2bx(x0)．∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切．∴f′1＝a－2b＝0，f1＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12.(2)由(1)知f(x)＝lnx－12x2，则f′(x)＝1x－x＝1－x2x，当1e≤x≤e时，令f′(x)0，得1ex1，令f′(x)0，得1xe，∴f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e)上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝－12.考点三函数极值与最值的综合问题【例3】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．解(1)f′(x)＝2ax＋bex－ax2＋bx＋cexex2＝－ax2＋2a－bx＋b－cex.令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，由于ex0.令f′(x)＝0，则g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c＝0，∴－3和0是y＝g(x)的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同．又因为a0，所以－3x0时，g(x)0，即f′(x)0，当x－3或x0时，g(x)0，即f′(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有9a－3b＋ce－3＝－e3，g0＝b－c＝0，g－3＝－9a－32a－b＋b－c＝0，解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝x2＋5x＋5ex.因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，又f(－5)＝5e－5＝5e55＝f(0)，所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.规律方法(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值．【训练3】(2017·衡水中学月考)已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－1x＝ax－1x.当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．当a0时，由f′(x)0，得0x1a；由f′(x)0，得x1a，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，＋∞上递增，即f(x)在x＝1a处有极小值．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－lnx.因此f(x)≥bx－2⇒1＋1x－lnxx≥b，令g(x)＝1＋1x－lnxx，则g′(x)＝lnx－2x2，令g′(x)＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－1e2，即b≤1－1e2.故实数b的最大值是1－1e2.[思想方法]1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.4.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．[易错防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.