圆与方程基本题型

圆与方程基本题型基本题型类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例6两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx①0202022020FyExDyx②①－②得：0)()(21021021FFyEExDD．∵A、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD．∴方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的．∴两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD．2、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为解：设直线方程为kxy，即0ykx.∵圆方程可化为25)1()2(22yx，∴圆心为（2，-1），半径为210.依题意有2101122kk，解得3k或31k，∴直线方程为xy3或xy31.类型三：弦长、弧问题例9、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距3d，故弦长2222drAB，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB.类型四：直线与圆的位置关系例12、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：∵曲线24xy表示半圆)0(422yyx，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22m或22m.类型五：圆与圆的位置关系例15：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。解：∵圆1)1(22yx的圆心为)0,1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2,0(2O，半径22r，∴1,3,5122121rrrrOO.∵212112rrOOrr，∴两圆相交.共有2条公切线。类型六：圆中的最值问题例18：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是解：∵圆18)2()2(22yx的圆心为（2，2），半径23r，∴圆心到直线的距离rd25210，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(rrdrd.（一）直击高考题一、选择题1.（辽宁理，4）已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为A.22(1)(1)2xyB.22(1)(1)2xyC.22(1)(1)2xyD.22(1)(1)2xy【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.【答案】B2.（重庆理，1）直线1yx与圆221xy的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离【解析】圆心(0,0)为到直线1yx，即10xy的距离1222d，而2012，选B。【答案】B3.（重庆文，1）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．22(2)1xyB．22(2)1xyC．22(1)(3)1xyD．22(3)1xy解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b，则由题意知2(1)(2)1ob，解得2b，故圆的方程为22(2)1xy。解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1xy解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。【答案】A4.（上海文，17）点P（4，－2）与圆224xy上任一点连续的中点轨迹方程是（）A.22(2)(1)1xyB.22(2)(1)4xyC.22(4)(2)4xyD.22(2)(1)1xy【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则2224tysx，解得：2242ytxs，代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：22(2)(1)1xy【答案】A5.（上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,lkxkylkxy与平行，则k得值是（）A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：kk43＝k－3，解得：k＝5，故选C。【答案】C7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240xyy所截得的弦长为A.3B.2C.6D.2322224024323xyyxy解析：（），A(0,2),OA=2,A到直线ON的距离是1,ON=弦长【答案】D二、填空题8.（广东文，13）以点（2，1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是.【解析】将直线6xy化为60xy,圆的半径|216|5112r,所以圆的方程为2225(2)(1)2xy【答案】2225(2)(1)2xy9.（天津理，13）设直线1l的参数方程为113xtyt（t为参数），直线2l的方程为y=3x+4则1l与2l的距离为_______【解析】由题直线1l的普通方程为023yx，故它与与2l的距离为510310|24|。【答案】510313.（全国Ⅱ文15）已知圆O：522yx和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=21(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为42552521。【答案】254三、解答题16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆221:(3)(1)4Cxy和圆222:(4)(5)4Cxy.（1）若直线l过点(4,0)A，且被圆1C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C和圆2C相交，且直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解(1)设直线l的方程为：(4)ykx，即40kxyk由垂径定理，得：圆心1C到直线l的距离22234()12d，结合点到直线距离公式，得：2|314|1,1kkk化简得：272470,0,,24kkkork求直线l的方程为：0y或7(4)24yx，即0y或724280xy(2)设点P坐标为(,)mn，直线1l、2l的方程分别为：1(),()ynkxmynxmk，即：110,0kxynkmxynmkk因为直线1l被圆1C截得的弦长与直线2l被圆2C截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心1C到直线1l与2C直线2l的距离相等。故有：2241|5||31|111nmknkmkkkk，化简得：(2)3,(8)5mnkmnmnkmn或关于k的方程有无穷多解，有：20,30mnmnm-n+8=0或m+n-5=0解之得：点P坐标为313(,)22或51(,)22。