数学建模的指标量化问题

数学建模本身是一个量化过程，如何利用数学的方法刻画重要的量是数学建模的非常关键的问题。在数学模型课程中，我们接触过许多指标量化问题。例1：椅子能否在不平的地面上放稳指标：放稳如何定量描述？开始没有放稳，晃一晃就稳了。晃一晃如何描述？例2：公平席位分配问题问题是分析各部门代表如何分配，才符合公平原则。这里的主要指标是公平，如何对公平这个指标进行量化的问题。数学规划问题的量化指标：目标函数我们需要求一个指标的最优问题。定量的问题的指标有些是容易确定的，如工厂的生产利润，人的体重等。有些问题涉及到某些介于定量和定性之间的量，如客户的满意度，国家的竞争力，服务业的服务水平等。这些问题需要我们设计新的评价体系。有些需要巧妙地利用数学工具进行设计。如下雨的淋雨量，人口的平均寿命等。多数实际问题和竞赛题目都涉及到指标的评价问题。不少竞赛题目本身就是指标评价。如2010B题2010年上海世博会影响力的定量评估D题对学生宿舍设计方案的评价2008D题NBA赛程的分析与评价等。评价的核心是建立评价指标。大量的问题中，评价指标的建立具有画龙点睛的作用。如在数学建模课本上的公平席位问题，其核心是公平的度量指标的引入。CUMCM02B彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组09号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从04号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从09十个号码中任选6个基本号码(可重复)，从04中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一(X表示未选中的号码)。中奖10选6+1(6+1／10)等级基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中(6+1)二等奖abcdef选7中(6)三等奖abcdeXXbcdef选7中(5)四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中(4)五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中(3)六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中(2)表1以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50％，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为[(当期销售总额x总奖金比例)—低项奖总额]x单项奖比例(1)这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。(2)设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。(3)给报纸写一篇短文，供彩民参考。问题分析：粗略的分析，本问题给出了2种不同的彩票(33选7和27选6+1)，请你综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。并设计一种“更好”的方案及相应的算法。关键是什么？评价指标！什么是好？利用什么样的尺子去度量不同彩票的好坏？怎样利用数学工具把这些指标量化？对上述问题，一般来讲，评价彩票的指标一般有两个：第一个指标：公平性指标：作为一种博弈，奖金的多少与风险的大小对应。(对比：在麻将中，番数大的局往往成的概率小。)设有7种不同奖项，第i种奖项的中奖概率为pi,奖金数xi，则最公平的分配为iipxconst问题：如果是打麻将设置各种局的番数，公平性是主要指标。但是，在买彩票时，人们并不关心公平性，主要出于一种博彩心理。因此还要有描述这种博彩心理的指标。第2个指标：博彩心理指标在数学模型课程中，我们曾经给出心理指标的分析，如在实物交换中，给出满意度的描述和无差别曲线的概念。但实际上对心理学问题的定量是困难的。但由于博彩是一个热点问题，人们给出了大量的研究，给出了一些指标模型。我们可以直接引用。例如其中t是单注的收益率()1ntwte()tEn2009B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。这一问题的核心是如何合理安排医院的病床，提高病床的使用效率和社会效益。医院是一个服务单位，它既要追求经济效益，又要兼顾社会效益。提高病床的使用率是经济效益，而提高社会效益如何体现呢？我们仔细分析问题：医院有若干种不同眼病的病人在排队等候看病，不同病情的病人的治疗时间不同，服务的时间长度不同，手术前准备时间不同。如何根据这些病人的排队情况，制定治疗的先后顺序方案？我们可以制定各种治疗顺序方案，关键的是从中找出“好”的来。这就需要制定量化指标来描述什么是好，度量好的程度。我们从两个角度分析什么是好。从病人的角度分析：(1)排队等待的时间越短越好。(2)治疗顺序尽可能公平，即先来先治疗。从医院的角度分析：(1)住院治疗的病人越多越好。(2)病房利用率越高越好。引入下面的指标定量描述上述问题：(1)病人术前等待时间(从门诊到手术)越短越好(2)病人术前准备时间(从住院到手术)越短越好(3)单位时间出院人数越多越好。定量指标的表述病人术前平均等待时间(从门诊到手术)(病人的满意度的一种度量尺度)设第j个第i类病人的等待入院时间是Tw(i,j)，术前准备时间是Tp(i,j)，n(i)是一段时间内到门诊看病的第i类病人的人数，则术前平均每个人的等待时间为()51151((,)(,))()niwpijwiTijTijTni病人的平均术前准备时间：（病床的效率）()51151(,)()nipijwiTijTni平均每天的出院人数（利用有限的病床治疗尽可能多的病人）其中Nout(i,j)为第i种病人第j天出院人数。511(,)noutijoutNijNn第二部分：问题的优化。由于制定了问题的衡量指标，下一步就是指标优化问题。目标函数为()51151((,)(,))min()niwpijwiTijTijTni()55111min(,)/()niwpijiTTijni511(,)maxnoutijoutNijNn这里，目标函数中，Tw(i,j),Tp(i,j)和Nout(i,j)如何表示呢？2006A题:出版社的资源配置出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。[附录]附件1：问卷调查表；附件2：问卷调查数据(五年)；附件3：各课程计划及实际销售数据表(5年)）；附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表(6年)；附件5：9个分社人力资源细目。这是一个管理问题，问题在于确定决策变量和优化指标。决策变量：根据题意(将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益)，决策变量应该描述书号的分配情况。一种自然的选择是取分配给第i个出版社第j种书籍的书号数。,:ijx优化指标的设定：效益：设第i个分社第j门课程书目利润均值为Rij，销售数量均值nij，则总利润为9,,,11imijijijijRRnx另外，题目上提到当年经济效益和长远发展战略。长远的效益如何描述？这是一个定性的问题。许多文章把读者对出版社的满意度作为达到长远目标程度的一种度量。记aij表示第i个出版社第j个书号的读者满意度，则定义总的满意度为9,,11imijijijSax还可以有其他的目标。如市场占有率目标。设bij是第i个出版社第j个书号的市场占有率，则市场占有率指标为9,,11imijijijBbx问题在于：这里的系数问题中没有给出，如何确定呢？题目中给出了5个附表，包括读者的调查问卷、过去各个年份的各种教材的销量等。利用这些数据，可以对各个系数做量化分析。例如：读者满意度的量化。在读者的意见调查中，给出了五个不同的选项(好，较好，一般，勉强可以，不好)。寻找一个单调函数来对其量化。如这5个选项分别对应5，4，3，2，1分，则满意度可以定义为51也可以利用模糊数学等有关的公式。如何利用数据确定出其他参数，大家可以自己讨论一下。约束条件：由于有出版社人员的限制，书号总数的限制等，大家可以把这些约束列出来，形成完整的规划模型。工作人员的能力衡量？指标？